Tópicos de física - cinemática

por fisicamat Sáb 14 Out 2023, 10:04

Um automóvel A encontra -se em repouso diante de um semáforo fechado. Assim que o semáforo abre, A está entrando em movimento e outro automóvel B está passando por ele. O gráfico ao lado mostra as velocidades escalares de A e B em função do tempo. a) Em que instante t os automóveis voltam a se encontrar? b) Qual foi a máxima distância entre eles no intervalo de tempo de 0 s a t?

Tópicos de física - cinemática OyK4hnZyC6MAAAAASUVORK5CYII=

Tópicos de física - cinemática OyK4hnZyC6MAAAAASUVORK5CYII=

Como resolver?

por **Giovana Martins** Sáb 14 Out 2023, 10:25

Esta questão é complicadinha. Então, se houver dúvidas, pode falar.

Há outras formas de resolver este problema. Vou propor uma forma possível.

Do gráfico tiramos as seguintes conclusões:

Corpo: sua velocidade varia no tempo segundo o seguinte perfil de velocidade: v(t) = at + v₀. Portanto, o corpo A descreve um M.U.V..

Do gráfico concluímos que o perfil de velocidades do corpo A é dado por v(t) = (20/7)t, ou seja, v₀ = 0 m/s e a = (20/7) m/s².

Corpo B: sua velocidade não varia com o tempo. Deste modo, o corpo B descreve um M.U..

Para o corpo A vale: s(t) = s₀ + v₀t + 0,5at². Logo, s(t) = s_0,A + (10/7)t². Deste modo, a distância percorrida por A é dada por s(t) - s_0,A = (10/7)t².

Para o corpo B vale: s(t) = s₀ + vt. Logo, s(t) = s_0,B + 20t. Deste modo, a distância percorrida por A é dada por s(t) - s_0,B = 20t.

Os corpos se encontram ao percorrer distâncias iguais, tal que s(t) - s_0,A = s(t) - s_0,B, o que implica (10/7)t² = 20t e, portanto, t = 0 s (primeiro encontro) e t = 14 s (segundo encontro).

Para o item B, note que o corpo B estará a frente do corpo A, de tal modo que:

s_B - s_A = 20t - (10/7)t²

Note que temos uma função do segundo grau na variável "t". Portanto, a máxima distância entre os corpos é dada por:

d_máx = - ∆/(4a) = - (20)²/(-40/7) = 70 m

Se a questão pedisse o instante no qual os corpos estivessem a máxima distância, bastaria fazer:

t = -b/2a = (-20)/(-40/7) = 7 s

Segue, também, um gráfico do espaço pelo tempo para facilitar a interpretação do problema.

Tópicos de física - cinemática VmeO7hxDMPwfNkUzPmAdGqUAAAAASUVORK5CYII=

por **Giovana Martins** Sáb 14 Out 2023, 13:52

Um outro jeito um pouco mais sofisticado.

[latex]\\\mathrm{Para\ t=0\ s\to x_A(t)=x_B(t)=0\ m\ (1^{\circ}\ encontro)}\\\\ \mathrm{v(t)=\left\{\begin{matrix} \mathrm{\frac{20}{7}t,t\in [0,+\infty)\to Corpo\ A}\\ \mathrm{20,t\in [0,+\infty)\to Corpo\ B} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Para\ o\ corpo\ A:v_A(t)=\frac{dx}{dt}\to \int dx=\int \left ( \frac{20}{7}t \right )dt\to x_A(t)=\frac{10}{7}t^2+C}\\\\ \mathrm{Para\ t=0\ s:0=\frac{10}{7}\cdot (0)^2+C\ \therefore\ C=0\ \therefore\ x_A(t)=\frac{10}{7}t^2\to M.U.V.}\\\\ \mathrm{Para\ o\ corpo\ B:v_B(t)=\frac{dx}{dt}\to \int dx=\int (20)dt\to x_B(t)=20t+C}\\\\ \mathrm{Para\ t=0\ s:0=20\cdot 0+C\ \therefore\ C=0\ \therefore\ x_B(t)=20t\to M.U.}\\\\ \mathrm{Item\ A:x_A(t)=x_B(t)\to \frac{10}{7}t^2=20t\to t=0\ s\ ou\ t=14\ s\ (2^{\circ}\ encontro)}\\\\ \mathrm{Item\ B:x_B(t)-x_A(t)=20t-\frac{10}{7}t^2=f(t)\ \therefore\ x_{M\acute{a}x}=-\frac{\Delta}{4a}=70\ m} [/latex]