Leis de Kepler

O período orbital T, no sistema solar, está relacionado com a distância média D dos planetas ao Sol. As variáveis que devem ser plotadas em um gráfico linear para que se obtenha uma linha reta são:
A) T² versus D³ . 
B) T² versus D. 
C) T versus D³ . 
D) T versus D.

Gabarito: A

Olá!

Repare que todas as alternativas estão comparando o período e o raio da órbita, chamando este de D. Uma relação que envolve estas grandezas é a terceira lei de Kepler:

\( \frac{T^2}{R^3} = \frac{4 \pi ^2}{GM}\)

Repare que o termo da direita é uma constante! \( \pi\) e G são constantes, e a massa do sol não vai mudar. Sendo assim, podemos escrever essa lei como:

\( \frac{T^2}{D^3} = K \)

O período, segundo essa lei, é uma função do primeiro grau com variável \(D^3\), portanto o período só vai mudar se o raio da órbita for alterado. Podemos escrever isso do seguinte modo, chamando \( T^2 \; de \; y \; e \; D^3 \; de \; x\). Portanto:

\( \frac{y}{x} = k \implies y = kx \implies \; função \; do \; primeiro \; grau \; em \; x \; \implies y = ax + b, \; b = 0 \)

Cujo gráfico é uma reta. Portanto, alternativa A. Ficou claro?

A parte que eu não entendo foi "O período, segundo essa lei, é uma função do primeiro grau com variável D". Não faz sentido pra mim ser uma função do primeiro grau tendo o período elevado a 2 e a raio elevado a 3.

MichaelRocha escreveu:A parte que eu não entendo foi "O período, segundo essa lei, é uma função do primeiro grau com variável D". Não faz sentido pra mim ser uma função do primeiro grau tendo o período elevado a 2 e a raio elevado a 3.

Entendo, imaginei que você ia perguntar exatamente isso. É meio confuso, mas é como se ele só se preocupasse com o sentido da divisão entre \(T^2 \; e \; D^3\). A divisão entre essas grandezas gera um valor constante. Isso é uma característica de função do primeiro grau. Se um termo aumenta, o outro aumenta; se um termo diminui, o outro diminui, e assim vai.

E realmente é estranho pensar que uma varíavel ao quadrado será alterada proporcionalmente com o cubo de outra varíavel. As mudanças delas são lineares, embora seus termos sejam de graus diferentes de 1.

Aliás, vou editar essa informação da "variável D". Era para ser "variável \(D^3\)".

Deu para entender, obrigado.