Prisma triangular Regular - Aref
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Prisma triangular Regular - Aref
por Zeroberto Ter 03 Out 2023, 11:48
Em um prisma triangular regular, o segmento da perpendicular conduzida por um vértice ao lado oposto da outra base tem medida a e faz 60° com o plano da base. Determine o volume do prisma.
Gabarito: \(V = \frac{a^3}{8}\)
Gabarito: \(V = \frac{a^3}{8}\)
Zeroberto- Jedi
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Re: Prisma triangular Regular - Aref
por Elcioschin Ter 03 Out 2023, 12:04
As duas bases ABC e A'B'C' são triângulos equiláteros de lado L
Sejam h o valor da altura do prisma e M o ponto médio do lado AB
AM = BM = L/2 ---> CM = L.√3/2
Trace CM e C'M = a ---> C'M é perpendicular à aresta AB
C'M.cos(C'^MC) = CM ---> a.cos60º = L.√3/2 ---> L = a.√3/3
C'M.sen(C'^MC) = C'C ---> a.sen60º = h ---> h = a.√3/2
V = (L².√3/4).h ---> Calcule V
Sejam h o valor da altura do prisma e M o ponto médio do lado AB
AM = BM = L/2 ---> CM = L.√3/2
Trace CM e C'M = a ---> C'M é perpendicular à aresta AB
C'M.cos(C'^MC) = CM ---> a.cos60º = L.√3/2 ---> L = a.√3/3
C'M.sen(C'^MC) = C'C ---> a.sen60º = h ---> h = a.√3/2
V = (L².√3/4).h ---> Calcule V
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Re: Prisma triangular Regular - Aref
por Zeroberto Ter 03 Out 2023, 14:16
Olá, Elcio, muito obrigado pela ajuda! Quase cheguei no mesmo resultado, faltou só o detalhe do ponto médio.
Aliás, foi a única dúvida que me surgiu. Por que o ponto que esse segmento vai intersectar no lado AB é ponto médio?
Aliás, foi a única dúvida que me surgiu. Por que o ponto que esse segmento vai intersectar no lado AB é ponto médio?
Zeroberto- Jedi
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Re: Prisma triangular Regular - Aref
por Elcioschin Ter 03 Out 2023, 17:09
Faça um desenho do prisma
Para a reta traçada por C' ser perpendicular ao lado AB ela tem que passar pelo ponto médio M de AB
Por exemplo as retas C'A e C'B NÃO são perpendiculares a AB
E qualquer reta traçada por C' até um ponto N entre A e M ou até um ponto P entre B e M não será perpendicular a AB.
Isto significa que C'M é a distância mínima entre C' e a reta AB
Para a reta traçada por C' ser perpendicular ao lado AB ela tem que passar pelo ponto médio M de AB
Por exemplo as retas C'A e C'B NÃO são perpendiculares a AB
E qualquer reta traçada por C' até um ponto N entre A e M ou até um ponto P entre B e M não será perpendicular a AB.
Isto significa que C'M é a distância mínima entre C' e a reta AB
Elcioschin- Grande Mestre
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