extremantes

Determine os extremantes da função f(x) = sen x + cos x, para x pertencente ao intervalo [0°, 360º[


resposta: 45º (ponto máximo local), 225º (ponto mínimo local)

Extremantes num intervalo são os pontos nos quais uma função tem valores extremos, ou seja, máximo e mínimo da função naquele intervalo de domínio.

Várias maneiras de se resolver:

1ª) Quando conhecemos a função e suas características:

Valores máximo e mínimo para seno e cosseno são 1 e -1.

Mas temos f(x) = sen(x) + cos(x)

De novo 2 maneiras:

a) Transformamos sen(x) + cos(x) em seno ou cosseno e ficamos só com uma função, ou seno ou cosseno.

f(x) = sen(x) + sen(90° - x)

f(x) = 2 sen( (x+ (90° - x))/2 )cos( (x - (90°-x))/2 )

f(x) = 2 sen(90°/2)cos((2x - 90°)/2)

f(x) = 2 sen(45°)cos(x - 45°)

f(x) = ( 2√2/2 ) cos(x - 45°)

f(x) =√2 cos(x - 45°)

cos(w) é máximo quando w = 0

x - 45° = 0, x = 45°

cos(w) é mínimo quando w = 180°

x - 45° = 180°, x = 225°

b) Fazemos mentalmente ou montamos uma tabela com x, sen(x) e cos(x) e veremos que a soma é máxima para 45° e mínima para 225°.

2ª) A função derivada de uma função nos dá os coeficientes angulares das retas que tangenciam a função original.

Teremos um ponto de máximo ou mínimo relativo quando a tangente à curva da função for paralela ao eixo "x" das abcissas, isto é, quando o coeficiente angular desta reta tangente for zero, então, quando a função derivada se anular.

f(x) = sen(x) + cos(x)

f'(x) = [sen(x)]' + [cos(x)]'

f'(x) = cos(x) - sen(x)

f'(x) = 0 ???

cos(x) - sen(x) = 0

cos(x) = sen(x)

x = 45° ou x = 225°



Teremos:

Máximo: M ( 45°; √2 ) e Mínimo: m ( 225°; √2 )

Obrigado, rihan