Álgebra Básica

A soma



quando escrita sob a forma da fração irredutível p/q o valor de p+q é

(A) 4001
(B) 5001
(C) 6001
(D) 8001
(E) 9001


Gabarito letra C
 
Obs.: Falaram-me que por soma telescópica não ia dar muito certo, porque não tem relação de diferença e soma. Então, disseram para eu usar essa relação:


Sendo a e b constantes.
Fiz MMC e apliquei identidade polinomial e achei a relação para o termo geral sendo:

   

Porém, depois disso, começa a dar uns números catastróficos. Quando eu apliquei a soma de PA dos 998 termos e tentei somar com 1 e 1/3001, para depois multiplicar por 1/3, ficou uma solução que, definitivamente, não está correta.
Não sei no que estou errando. 

Avaliemos o termo geral da soma:
\[
\frac{1}{k(k+3)} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+3} \right]
\]
Invocamos uma PA de razão 3 e de primeiro termo igual a 1:
\[
\begin{align*}
k & = a_1 + (n-1)r \\
& = 1 + 3(n-1) 
\end{align*}
\]
Note que \( k = 3n - 2 \) e \( k + 3  = 3n + 1 \).

Sendo assim, o termo \(t_n \) geral da soma \(S\) é:
\[
t_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+ 1} \right]
\]
Logo,
\[
\begin{align*}
S_n & = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{1000}\left(  \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \\
& = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} - \cancel{\frac{1}{4}} {\color{red}{+}} \cancel{\frac{1}{4}} - \cancel{\frac{1}{7}} + \ldots {\color{red}{+}} \cancel{\frac{1}{2995}} - \cancel{\frac{1}{2998} }{\color{red}{+}} \cancel{\frac{1}{2998}} - \frac{1}{3001} \right)\\
& = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3001} \right) \\
& = \frac{1}{3} \cdot \frac{3000}{3001} \\
& = \frac{1000}{3001}
\end{align*}
\]
Por fim, \( p + q = 1000 + 3001 = 4001 \).

O gabarito está errado.

Ok, obrigada!