MAIS UMA INTEGRAL - DESSA VEZ IMPRÓPRIA

Mostre que

[latex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\theta \sin{\theta}}{\theta^4+1}\mathrm{d}\theta =\pi e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\sin\left({\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)[/latex]

Resolve pra gente por favor Gilberto!!

Matheus Tsilva escreveu:
Resolve pra gente por favor Gilberto!!

Olá, Matheus. Tudo bem?

Estou na correria da vida no momento, mas assim que der uma aliviada, coloco a resolução aqui. A forma que conheço envolve análise complexa e o uso do teorema do resíduo.

sem problemas...de onde vc tira essas questões ?

Como a ideia é usar o teorema dos resíduos, é melhor trocar o seno pela exponencial, já que fica mais fácil de majorar. Então consideramos a função

\(f(z) = \dfrac{z e^{iz}}{z^4 + 1} \implies f(\theta) = \dfrac{\theta \cos \theta}{\theta^4 + 1} + i \dfrac{\theta \sin \theta}{\theta^4+1} \)

Dessa forma temos

\( \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \dfrac{\theta \sin \theta}{\theta^4+1} \, d\theta =  \textrm{Im }\! \left [ \int_{-\infty}^\infty f(\theta) \,d\theta \right] \)

f possui 4 singularidades, todas pólos de ordem 1, a saber: \(\dfrac{\pm 1\pm i}{\sqrt 2} \). Consideramos então a curva \(\gamma(\theta) = r e^{i\theta} \) para  \( 0 \leq \theta   \leq \pi\) e para r > 1. Por resíduos segue que:

\( \displaystyle \int_{-r}^r f(\theta)\, d\theta + \int_0^\pi f(r e^{i\theta}) ri e^{i \theta}\, d\theta = 2\pi i \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{1+i}{\sqrt 2} \right) + 2 \pi i \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{-1+i}{\sqrt 2} \right) \)

Fazendo \( r \to +\infty\) primeiro notamos que

\( \displaystyle \lim_{r \to \infty} \int_0^\pi f(r e^{i \theta} ) ri e^{i \theta} \, d\theta = 0\)

De fato, temos

\( \displaystyle \left| \int_0^\pi f(r e^{i \theta}) ri e^{i \theta} \, d\theta \right| \leq \int_0^\pi  \left | f(r e^{i \theta}) ri e^{i \theta} \right| \, d\theta \leq \pi \sup_{0 \leq \theta \leq \pi} \left | f(r e^{i \theta}) ri e^{i \theta} \right|  \implies \)

\( \displaystyle \left| \int_0^\pi f(r e^{i \theta}) ri e^{i \theta} \, d\theta \right| \leq \pi \dfrac{r^2}{r^4-1} \sup_{0 \leq \theta \leq \pi} \left| e^{ire^{i \theta}} \right| \leq \dfrac{\pi r^2}{r^4-1} \sup_{0 \leq \theta \leq pi} e^{-r \sin \theta}  \overset{r \to \infty}{\longrightarrow} 0\)

Disso concluímos que

\( \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \dfrac{\theta \sin \theta}{ \theta^4+1}\, d\theta = \textrm{Im }\!  \left( 2\pi i \left[  \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{1+i}{\sqrt 2} \right) +  \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{-1+i}{\sqrt 2} \right) \right] \right) \)

Resta então calcular os resíduos. Sendo \(u = \dfrac{1+i}{\sqrt 2} \) e \(v = \dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}\) temos

\( \displaystyle \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{1+i}{\sqrt 2} \right) = \dfrac{ u e^{iu}}{2u \cdot \frac{2}{\sqrt 2} \cdot \frac{2i}{\sqrt 2}} = \dfrac{1}{4i} e^{iu} = \dfrac{1}{4i} e^{-\frac 1{\sqrt 2}} \left( \cos \frac{1}{\sqrt 2} + i \sin \frac{1}{\sqrt 2}\right) \)

\( \displaystyle \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{-1+i}{\sqrt 2} \right) = \dfrac{ v e^{iv}}{2v \cdot \frac{(-2)}{\sqrt 2} \cdot \frac{2i}{\sqrt 2}} = -\dfrac{1}{4i} e^{iv} = -\dfrac{1}{4i} e^{-\frac 1{\sqrt 2}} \left( \cos \frac{1}{\sqrt 2} - i \sin \frac{1}{\sqrt 2}\right) \)

Portanto:

\( \displaystyle \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{1+i}{\sqrt 2} \right)  + \textrm{ Res }\! \left( f, \dfrac{-1+i}{\sqrt 2} \right)  = \dfrac 12 e^{- \frac 1 {\sqrt 2}} \sin \dfrac 1{\sqrt 2} \)

\( \displaystyle \boxed{ \int_{-\infty}^\infty \dfrac{\theta \sin \theta}{ \theta^4+1}\, d\theta = \pi  e^{- \frac 1 {\sqrt 2}} \sin \dfrac 1{\sqrt 2} } \)

Parabéns pela resolução, não me lembro de ter aprendido isso na faculdade...
Por onde você estuda ?

Matheus Tsilva escreveu:Parabéns pela resolução, não me lembro de ter aprendido isso na faculdade...
Por onde você estuda ?

Pra ver na faculdade teria que cursar a matéria de  cálculo para funções complexas. Tirando matemática e física, não tem muitos cursos que costumam ter isso na grade. Talvez engenharia elétrica, mas depende da instituição, eu acho.

Tem varias referencias. O livro do Churchill é muito citado, mas eu nunca usei. Eu particularmente aprendi no livro do Marcio Soares.

boaaa
é então eu faço engenharia, você estuda essa matéria com qual finalidade ? hobbie ?

Matheus Tsilva escreveu:boaaa
é então eu faço engenharia, você estuda essa matéria com qual finalidade ? hobbie ?

kkkkkkkkk hobbie não cara, eu sou formado em matemática, fiz a disciplina !!!!

Kkkkkkkk
Brabooo