Atrito em movimentos circulares

Um cilindro uniforme de raio R é girado sobre seu eixo à velocidade angular w0 e é, então, colocado num canto. O coeficiente de atrito entre as paredes do canto e o cilindro é igual a k. Quantas voltas o cilindro irá realizar até parar?








Gabarito: (1+k^2)w0^2R/8πk(k+1)g

A normal da parede é \( N_1 \) e a normal do chão é \( N_2 \):
\[ \begin{cases} mg = kN_1  + N_2 \\ N_1 = kN_2 \end{cases}
\Rightarrow  N_2 = \frac{mg}{k^2+1} \]
Aplicação da 2° Lei de Newton rotacional
\[ \tau_{\mathrm{CM}} = I_{\mathrm{CM}} \cdot \alpha \]
\[ k (N_1 + N_2) \cdot R = \frac{mR^2}{2} \cdot \alpha \]
\[ \alpha = -\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} = \frac{2kN_2(k + 1)}{mR} \]
\[ \dot{\omega} = -\frac{2gk(k+1)}{R(k^2+1)}\]
\[ \omega^2 = \omega_0^2 + 2\dot{\omega} \Delta \theta \]
Quando o cilindro para de girar, temos que \( \omega = 0 \):
\[ \Delta \theta = - \frac{\omega^2_0}{2\dot{\omega}} = \frac{\omega_0^2 R(k^2+1)}{4gk(k+1)} \]
O número de voltas até o cilindro parar de girar é dado por
\[ n = \frac{\Delta \theta}{2\pi} = \frac{\omega_0^2 R(k^2+1)}{8\pi gk(k+1)} \]