Geometria Espacial

O número de vértices continua o mesmo em P' que era em P.
V' = V
X(P')=V' - A' + F'
X(P)=V - A + F

Se certa face convexa de P tiver, por exemplo, n lados (e portanto n vértices), selecionando um vértice qualquer em um dos lados haverá n-3 diagonais para traçar (exclui o próprio vértice e os dois adjacentes de serem o outro extremo da diagonal). Ou seja, P' terá n-3 arestas a mais para esta face. Porém também terá n-3 faces a mais, pois formará n-2 triângulos, cada um com dois lados diagonais ou adjacentes ao vértice e um dos lados um lado não adjacente ao vértice, sendo n-2 lados assim. Como uma face se tornou n-2 faces, (n-2)-1=n-3 faces foram adicionadas ao poliedro para esta face.

Assim, para cada face do poliedro de n lados, adiciona-se n-3 arestas e n-3 faces.

V'=V
A' = A + somatório_{i=1}^{F} (n_i-3)
F' = F + somatório_{i=1}^{F} (n_i-3)
(Em que n_i é o número de lados da i-ésima face.)
X(P')=V' - A' + F' = V - A - somatório_{i=1}^{F} (n_i-3) + F + somatório_{i=1}^{F} (n_i-3)
(Note que os dois somatórios são iguais.)
X(P') = V - A + F = X(P)
Assim, a característica de Euler não muda.
|X(P') - X(P)| = |X(P) - X(P)| = |0| = 0