Triângulo - Ângulos e Ortocentro

por castelo_hsi Sáb 14 Ago 2021, 14:10

Seja ABC um triângulo, em que Â = 40°. Seja M o ponto médio de BC, E o pé da altura relativa a AC, H o ortocentro do triângulo e R o ponto médio de AH . Calcular os ângulos do triângulo ERM.

por **SilverBladeII** Dom 15 Ago 2021, 14:58

Triângulo - Ângulos e Ortocentro Msedge17

AD e AO são isogonais, portanto [latex]\angle BAD=\angle OAC=x[/latex], de forma que [latex]\angle OAD=40-2x[/latex].
Sabemos que AR=OM e AR//OM, que implica AO//MR. Assim, [latex]\angle OAH=\angle MRH=40-2x[/latex]

Triângulo - Ângulos e Ortocentro Msedge18

Como AEH é retangulo em E e R é ponto médio da hipotenusa, AR=RE=HR. Portanto [latex]\angle RAE=\angle AER =40-x[/latex], de forma que [latex]ERA=180-2(40-x)=100+2x[/latex].
Assim,
[latex]\angle ERM=180-(\angle ARE+\angle HRM)=180-(40-2x+100+2x)=40[/latex]

Analogamente, [latex]\angle EHR=\angle REH = 50+x[/latex]
Agora, perceba que [latex]\angle ABE=50[/latex], que implica
[latex]\angle EBC=\angle ABC - \angle ABE=90-x-5-=40-x[/latex].
Mas BEC é retangulo em E e M é ponto médio, então [latex]\angle MEB=\angle MBE=40-x[/latex]
Assim,
[latex]\angle REM= \angle REH +\angle BEM=50+x+40-x=90[/latex]

Por ultimo, [latex]\angle RME = 180-\angle MRE -\angle REM=180-40-90=50[/latex]