Exercício sobre mdc
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Exercício sobre mdc
. Seja n > 0 um número inteiro positivo composto e p seu menor fator primo. Sabe-se que p ≥ √ n e que p − 4 divide mdc(6n + 7, 3n + 2). Determine todos os possíveis valores de n.
Valdeteferreira- Iniciante
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Data de inscrição : 07/09/2020
Re: Exercício sobre mdc
Essa desigualdade p ≥ √n ta parcialmente certa, veja.
Se p = Vn, então p² = n, ou seja, n é quadrado perfeito e n seria o único fator primo de p.
Mas se p > Vn, considerando que p é o menor fator primo de n, temos um absurdo
Como p divide n, então existe um k tal que
n = p . k
Pela desigualdade: p > Vn, implica que p² > n
Então k teria que ser menor que p pra temos n = p . k, pois se k = p, teríamos p² > n, e se k > p, então temos p . k > p . p > n
Vamos pegar então p = Vn -----> p² = n
Seja d o mdc de 6n + 7 e 3n + 2, então d dividirá qualquer combinação linear entre os dois números
d | 6n + 7
d | 3n + 2
d | 6n + 7 - 2 . (3n + 2)
d | 6n + 7 - 6n - 4
d | 3
Então d = +/- 1 ou d = +/- 3
Se d = 1
p - 4 | 1 -----> p - 4 = 1 ----> p = 5
Se d = 3
p - 4 | 3 -----> p - 4 = 3 -----> p = 7
Se d = -1
p - 4 | - 1 ----> p - 4 = - 1 -----> p = 3
Se de = - 3
p - 4 | -3 -----> p - 4 = - 3 ----> p = 1 <---- Não é solução nesse caso
Se p = Vn, então p² = n, ou seja, n é quadrado perfeito e n seria o único fator primo de p.
Mas se p > Vn, considerando que p é o menor fator primo de n, temos um absurdo
Como p divide n, então existe um k tal que
n = p . k
Pela desigualdade: p > Vn, implica que p² > n
Então k teria que ser menor que p pra temos n = p . k, pois se k = p, teríamos p² > n, e se k > p, então temos p . k > p . p > n
Vamos pegar então p = Vn -----> p² = n
Seja d o mdc de 6n + 7 e 3n + 2, então d dividirá qualquer combinação linear entre os dois números
d | 6n + 7
d | 3n + 2
d | 6n + 7 - 2 . (3n + 2)
d | 6n + 7 - 6n - 4
d | 3
Então d = +/- 1 ou d = +/- 3
Se d = 1
p - 4 | 1 -----> p - 4 = 1 ----> p = 5
Se d = 3
p - 4 | 3 -----> p - 4 = 3 -----> p = 7
Se d = -1
p - 4 | - 1 ----> p - 4 = - 1 -----> p = 3
Se de = - 3
p - 4 | -3 -----> p - 4 = - 3 ----> p = 1 <---- Não é solução nesse caso
superaks- Mestre Jedi
- Mensagens : 525
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Localização : São Paulo, Guarulhos, Brasil
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