área da superfície e volume da calota esférica

por diPeron Qua 12 Ago 2020, 21:19

Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica.
área da superfície e volume da calota esférica 3da9a541-c692-41f5-898c-0522ea134db8

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Sabe-se que uma calota esférica tem volume $área da superfície e volume da calota esférica ?V_%7Bcal%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20h%5E2%7D%7B3%7D%283R-h%29$ , em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por $área da superfície e volume da calota esférica ?A_%7Bcal%7D%3D2%5Cpi%20R%20h$ . Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa como na interna. Supondo $área da superfície e volume da calota esférica ?h%3D%5Cfrac%7BR%7D%7B2%7D$ , quais o valores do volume do anel de madeira e da área sobre a qual o verniz será aplicado, respectivamente, em função de R?

por **Elcioschin** Qua 12 Ago 2020, 22:09

Seja AB = 2.r o diâmetro das bases do cilindro, M o ponto médio de AB e V o vértice da calota. Seja O o centro da esfera:

MV = h ---> OA = OB = OV = R ---> OM = R - h

AM² = OA² - OM² --> AM² = R² - (R - h)² --> AM² = 2.R.h - h² --> r² = h.(2.R - h)

Altura do cilindro: H = 2.OM ---> H = 2.(R - h)

Vc = pi.r².H ---> Vc = pi.h.(2.R - h).2.(R - h)

Área lateral do cilindro: Sl = 2.pi.r.H

As demais fórmulas foram dadas no enunciado. Complete a solução.

área da superfície e volume da calota esférica

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