Circunferência

por KaykyFado 18/7/2020, 10:26 am

(U.F.S.Car-SP) Consideremos, no plano, um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas. Uma circunferência de raio [latex]\frac{1}{2}[/latex] e de centro (1,1), nesse sistema, é tangenciada por uma reta que passa pela origem. Então o ponto de tangência [latex](x_{0}, y_{0})[/latex] é tal que

a) [latex]x_{0} + y_{0}=\frac{7}{4}[/latex]

b) [latex]x_{0} + y_{0}=\frac{5}{2}[/latex]

c) [latex]x_{0} = y_{0}[/latex]

d) [latex]x_{0} = -y_{0}[/latex]

e) [latex]x_{0} + y_{0}=1[/latex]

Gabarito: Alternativa a)

por JMão 18/7/2020, 10:53 am

Pensei em usar um pouco de geometria plana, vamos pegar o triângulo que tem vértices na origem, no centro da circunferência e é retângulo no ponto de tangência T. Sabemos (usando a fórmula de distância) que a distância OC é √2 e o raio CT é 1/2. Com pitágoras, descobrimos que OT² é 7/4. Usaremos, agora, a fórmula de distância entre dois pontos, da origem até a tangência.
Enfim, eu achei aqui que Xo² + Yo² = 7/4
Sei que não é a resposta, mas como cheguei perto achei interessante colocar para ver se alguém me ajuda a descobrir o erro também.
Espero ter ajudado

por **Elcioschin** 18/7/2020, 10:56 am

(x - 1)² + (y - 1)² = (1/2)²

Reta ---> y = a.x

Resolva o sistema e chegue numa equação do 2º grau.
Para a reta ser tangente o discriminante deve ser nulo.

por KaykyFado 18/7/2020, 12:01 pm

Não consigo identificar meu erro:
[latex]\left\{\begin{matrix} (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}& \\ y=mx& \end{matrix}\right.[/latex]
[latex](x-1)^2+(mx-1)^2=\frac{1}{4} [/latex]
[latex]x^2-2x+1+m^2x^2-2mx+1=\frac{1}{4} [/latex]
[latex]4x^2-8x+4+4m^2x^2-8mx+4-1[/latex]

Colocando em evidência e calculando o discriminante:
[latex](4m^2+4)x^2-(8m+8)x+7=0[/latex]

[latex]\bigtriangleup = (-(8m+ Cool

)^2-4(4m^2+4)7=0[/latex]

[latex]64m^2+64+128m-112m^2-112=0[/latex]

[latex]-48m^2+128m-48=0[/latex]

[latex]\frac{-48m^2+128m-48}{-16}=\frac{0}{-16}[/latex]

[latex]3m^2-8m+3=0[/latex]

[latex]m=\frac{8\pm \sqrt{64-36}}{6}=\frac{8\pm \sqrt{28}}{6}=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}[/latex]