(AFA 2006) - Funções

por AlvaroLSL Sex 10 Abr 2020, 15:32

(AFA 2006) Dada a função real f definida por f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}}, se D = [a,b] é o domínio de f e Im = [c,d] é o conjunto imagem de f, então, pode-se dizer que:
a) se Im - D = [m,n), então m - n = -2
b) se D - Im = ]p,q], então p + q = 10
c) c + d = 2
d) ab = 36

Não possuo o gabarito.

por **Elcioschin** Sex 10 Abr 2020, 18:48

Os radicandos não podem se negativos:

x - 4 ≥ 0 ---> x ≥ 4 ---> a = 4

8 - x ≥ 0 ---> x ≤ 8 ---> b = 8

f(4) = 4/(0 + √4) ---> f(4) = 2 ---> c = 2

f(8) = 8/(√4 + 0) ---> f(8) = 4 ---> d = 4

D = 8 - 4 ---> D = 4 ---> n = 4
Im = 4 - 2 --> Im = 2 --> m = 2

m , n = 2 - 4 ---> m - n = - 2

por **Giovana Martins** Sex 10 Abr 2020, 18:56

Élcio, por que que a imagem de f é [2,4] sendo que o menor valor que f assume não é 2?

por **Giovana Martins** Sex 10 Abr 2020, 18:59

Pergunto isso porque eu tentei fazer essa questão e enquanto eu fui testando alguns valores na calculadora notei que f assume valores menores que 2. Por exemplo, para x=4,1 tem-se f(4,1)≈1,79.

por **Elcioschin** Sex 10 Abr 2020, 19:11

Você está certa. No Wolfram f(x)mín ~= √3

Vou repensar a questão.

por **Giovana Martins** Sex 10 Abr 2020, 19:21

Eu tentei fazer usando derivadas mas não deu muito certo. A derivada deu uma expressão muito complicada para acharmos o ponto de mínimo.

por **Elcioschin** Sex 10 Abr 2020, 19:57

É bem trabalhoso mas acho que dá certo sim:

Vou mostrar apenas o numerador da derivada, pois é ele que terá que igualar a zero para obter o valor de x correspondente ao f(x)_mín

N' = {(x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2}.x' - x.{(x - 4)^1/2}' + {(8 - x)^1/2}'

N' = {(x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2}.1 - x.{(1/2).(x - 4)^-1/2.1 + (1/2).(8 - x)^-1/2.(-1)}

N' = (x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2 - x.{(1/2).(x - 4)^-1/2 - (1/2).(8 - x)^-1/2}

N' = (x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2 - x.{1/2.(x - 4)^1/2 - 1/2.(8 - x)^1/2} ---> N' = 0

(x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2 = x/2.(x - 4)^1/2 - x/2.(8 - x)^1/2

^{Agora é para quem tem paciência com Álgebra.}

por **Emanuel Dias** Sex 10 Abr 2020, 20:01

Elcioschin escreveu:É bem trabalhoso mas acho que dá certo sim:

Vou mostrar apenas o numerador da derivada, pois é ele que terá que igualar a zero para obter o valor de x correspondente ao f(x)_mín

N' = {(x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2}.x' - x.{(x - 4)^1/2}' + {(8 - x)^1/2}'

N' = {(x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2}.1 - x.{(1/2).(x - 4)^-1/2.1 + (1/2).(8 - x)^-1/2.(-1)}

N' = (x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2 - x.{(1/2).(x - 4)^-1/2 - (1/2).(8 - x)^-1/2}

N' = (x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2 - x.{1/2.(x - 4)^1/2 - 1/2.(8 - x)^1/2} ---> N' = 0

(x - 4)^1/2 + (8 - x)^1/2 = x/2.(x - 4)^1/2 - x/2.(8 - x)^1/2

^{Agora é para quem tem paciência com Álgebra.}

Essa questão provavelmente foi anulada, isso não cairia na AFA.

por **Giovana Martins** Sáb 11 Abr 2020, 04:51

É verdade. Na AFA não cai Cálculo. Talvez quem elaborou a questão tenha esquecido do comportamento da função. Se você observá-la numa escala não muito adequada parece muito que a imagem dela é [2,4]. Enfim, se aparece esta questão na minha prova eu tenho certeza que eu apelaria para x=4 e x=8 também Razz