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(AFA 2006) - Funções

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Resolvido (AFA 2006) - Funções

Mensagem por AlvaroLSL Sex 10 Abr 2020, 14:32

(AFA 2006) Dada a função real f definida por f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}}, se D = [a,b] é o domínio de f e Im = [c,d] é o conjunto imagem de f, então, pode-se dizer que:
a) se Im - D = [m,n), então m - n = -2
b) se D - Im = ]p,q], então p + q = 10
c) c + d = 2
d) ab = 36

Não possuo o gabarito.


Última edição por AlvaroLSL em Sab 11 Abr 2020, 08:43, editado 3 vez(es) (Motivo da edição : Consertei a equação no LATEX.)
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Elcioschin Sex 10 Abr 2020, 17:48

Os radicandos não podem se negativos:

x - 4  0 ---> x  4 ---> a = 4

8 - x ≥ 0 ---> x ≤ 8 ---> b = 8


f(4) = 4/(0 + 4) ---> f(4) = 2 ---> c = 2

f(8) = 8/(√4 + 0) ---> f(8) = 4 ---> d = 4


D = 8 - 4 ---> D = 4 ---> n = 4
Im = 4 - 2 --> Im = 2 --> m = 2

m , n = 2 - 4 ---> m - n = - 2
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Giovana Martins Sex 10 Abr 2020, 17:56

Élcio, por que que a imagem de f é [2,4] sendo que o menor valor que f assume não é 2?
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Giovana Martins Sex 10 Abr 2020, 17:59

Pergunto isso porque eu tentei fazer essa questão e enquanto eu fui testando alguns valores na calculadora notei que f assume valores menores que 2. Por exemplo, para x=4,1 tem-se f(4,1)≈1,79.
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Elcioschin Sex 10 Abr 2020, 18:11

Você está certa. No Wolfram f(x)mín ~= √3 

Vou repensar a questão.
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Giovana Martins Sex 10 Abr 2020, 18:21

Eu tentei fazer usando derivadas mas não deu muito certo. A derivada deu uma expressão muito complicada para acharmos o ponto de mínimo.
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Elcioschin Sex 10 Abr 2020, 18:57

É bem trabalhoso mas acho que dá certo sim:

Vou mostrar apenas o numerador da derivada, pois é ele que terá que igualar a zero para obter o valor de x correspondente ao f(x)mín 

N' = {(x - 4)1/2 + (8 - x)1/2}.x' - x.{(x - 4)1/2}' + {(8 - x)1/2}'

N' = {(x - 4)1/2 + (8 - x)1/2}.1 - x.{(1/2).(x - 4)-1/2.1 + (1/2).(8 - x)-1/2.(-1)}

N' = (x - 4)1/2 + (8 - x)1/2 - x.{(1/2).(x - 4)-1/2 - (1/2).(8 - x)-1/2}

N' = (x - 4)1/2 + (8 - x)1/2 - x.{1/2.(x - 4)1/2 - 1/2.(8 - x)1/2} ---> N' = 0

(x - 4)1/2 + (8 - x)1/2 = x/2.(x - 4)1/2 - x/2.(8 - x)1/2


Agora é para quem tem paciência com Álgebra.
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Emanuel Dias Sex 10 Abr 2020, 19:01

@Elcioschin escreveu:É bem trabalhoso mas acho que dá certo sim:

Vou mostrar apenas o numerador da derivada, pois é ele que terá que igualar a zero para obter o valor de x correspondente ao f(x)mín 

N' = {(x - 4)1/2 + (8 - x)1/2}.x' - x.{(x - 4)1/2}' + {(8 - x)1/2}'

N' = {(x - 4)1/2 + (8 - x)1/2}.1 - x.{(1/2).(x - 4)-1/2.1 + (1/2).(8 - x)-1/2.(-1)}

N' = (x - 4)1/2 + (8 - x)1/2 - x.{(1/2).(x - 4)-1/2 - (1/2).(8 - x)-1/2}

N' = (x - 4)1/2 + (8 - x)1/2 - x.{1/2.(x - 4)1/2 - 1/2.(8 - x)1/2} ---> N' = 0

(x - 4)1/2 + (8 - x)1/2 = x/2.(x - 4)1/2 - x/2.(8 - x)1/2


Agora é para quem tem paciência com Álgebra.

Essa questão provavelmente foi anulada, isso não cairia na AFA.
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por Giovana Martins Sab 11 Abr 2020, 03:51

É verdade. Na AFA não cai Cálculo. Talvez quem elaborou a questão tenha esquecido do comportamento da função. Se você observá-la numa escala não muito adequada parece muito que a imagem dela é [2,4]. Enfim, se aparece esta questão na minha prova eu tenho certeza que eu apelaria para x=4 e x=8 também Razz Razz .
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

Mensagem por AlvaroLSL Sab 11 Abr 2020, 08:42

Realmente, quando fui analisar o gráfico pelo geogebra, percebi que não há resposta correta. Obrigado a todos!
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Resolvido Re: (AFA 2006) - Funções

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