cilindro e tetraedro

É um pouco trabalhoso. Faça uma boa figura seguindo estas orientações:

Sejam ABC a base do tetraedro de aresta a, O o centro da base e D seu vértice superior
Seja M o ponto médio de AB ---> AM = BM = a/2

Apótema da face DAB ---> b = DM  ---> b = AB.cos30º ---> b = a.√3/2 ---> b² = 3.a²/4

Seja N o centro da face DAB ---> NM = (1/3).DM  ---> MN = (1/3).b ---> MN = a.√3/6

OM = MN --> OM = a.√3/6

Seja P o pé da perpendicular de N sobre OM e seja θ = N^MP = O^MD

cosθ = OM/DM = PM/MN ---> (a.√3/6)/(a.√3/2) = PM/(a.√3/6) ---> 1/3 = PM/(a.√3/6) ---> PM = (a.√3/18)

cosθ = 1/3 ---> senθ = 2.√2/3

OP = OM - MP ---> OP = a.√3/6 - a.√3/18 ---> OP = a.√3/9 ---> raio r do cilindro

PN = MN.senθ ---> PN = (a.√3/6)(2.√2/3) ---> PN = a.√6/9 ---> Altura h do cilindro

V = pi.r².h ---> V = pi.(a.√3/9)².(a.√6/9) ---> V = a³.√6.pi/243

Muito obrigado