cilindro e tetraedro
2 participantes
Página 1 de 1
cilindro e tetraedro
por Igor Kauan Souza da Mata Seg 17 Jun 2019, 11:04
Eai, gente! Tudo bem? Tem alguma ideia de como fazer essa?
Calcule o volume do cilindro cuja base está contida na face ABC de um tetraedro regular ABCD (AB = a) e a outra base está limitada pela circunferência que contém os baricentros das faces ABD, ADC e BDC.
Calcule o volume do cilindro cuja base está contida na face ABC de um tetraedro regular ABCD (AB = a) e a outra base está limitada pela circunferência que contém os baricentros das faces ABD, ADC e BDC.
(Alternativa Correta)
Última edição por Igor Kauan Souza da Mata em Seg 17 Jun 2019, 14:06, editado 1 vez(es)
Igor Kauan Souza da Mata- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 26/10/2018
Idade : 26
Localização : Belo Horizonte, MG, Brasil
Re: cilindro e tetraedro
por Elcioschin Seg 17 Jun 2019, 13:29
É um pouco trabalhoso. Faça uma boa figura seguindo estas orientações:
Sejam ABC a base do tetraedro de aresta a, O o centro da base e D seu vértice superior
Seja M o ponto médio de AB ---> AM = BM = a/2
Apótema da face DAB ---> b = DM ---> b = AB.cos30º ---> b = a.√3/2 ---> b² = 3.a²/4
Seja N o centro da face DAB ---> NM = (1/3).DM ---> MN = (1/3).b ---> MN = a.√3/6
OM = MN --> OM = a.√3/6
Seja P o pé da perpendicular de N sobre OM e seja θ = N^MP = O^MD
cosθ = OM/DM = PM/MN ---> (a.√3/6)/(a.√3/2) = PM/(a.√3/6) ---> 1/3 = PM/(a.√3/6) ---> PM = (a.√3/18)
cosθ = 1/3 ---> senθ = 2.√2/3
OP = OM - MP ---> OP = a.√3/6 - a.√3/18 ---> OP = a.√3/9 ---> raio r do cilindro
PN = MN.senθ ---> PN = (a.√3/6)(2.√2/3) ---> PN = a.√6/9 ---> Altura h do cilindro
V = pi.r².h ---> V = pi.(a.√3/9)².(a.√6/9) ---> V = a³.√6.pi/243
Sejam ABC a base do tetraedro de aresta a, O o centro da base e D seu vértice superior
Seja M o ponto médio de AB ---> AM = BM = a/2
Apótema da face DAB ---> b = DM ---> b = AB.cos30º ---> b = a.√3/2 ---> b² = 3.a²/4
Seja N o centro da face DAB ---> NM = (1/3).DM ---> MN = (1/3).b ---> MN = a.√3/6
OM = MN --> OM = a.√3/6
Seja P o pé da perpendicular de N sobre OM e seja θ = N^MP = O^MD
cosθ = OM/DM = PM/MN ---> (a.√3/6)/(a.√3/2) = PM/(a.√3/6) ---> 1/3 = PM/(a.√3/6) ---> PM = (a.√3/18)
cosθ = 1/3 ---> senθ = 2.√2/3
OP = OM - MP ---> OP = a.√3/6 - a.√3/18 ---> OP = a.√3/9 ---> raio r do cilindro
PN = MN.senθ ---> PN = (a.√3/6)(2.√2/3) ---> PN = a.√6/9 ---> Altura h do cilindro
V = pi.r².h ---> V = pi.(a.√3/9)².(a.√6/9) ---> V = a³.√6.pi/243
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73176
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
Igor Kauan Souza da Mata- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 26/10/2018
Idade : 26
Localização : Belo Horizonte, MG, Brasil
Tópicos semelhantes» Tetraedro mergulhado em cilindro
» Exercício de cilindro inscrito num tetraedro
» Geometria Espacial - Cilindro - volume do cilindro
» Tetraedro
» tetraedro
» Exercício de cilindro inscrito num tetraedro
» Geometria Espacial - Cilindro - volume do cilindro
» Tetraedro
» tetraedro
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
