Resultante Centrípeta

No sistema a seguir, os fios ideais têm comprimento 50,0 cm, e estão presos a uma haste vertical sem atrito. A
distância entre os pontos de fixação das cordas na haste é de 60,0 cm e a massa da esfera é de 600 g. No instante
representado na figura, a massa gira em torno da haste fixa a uma velocidade angular de 20,0 rad/s.



Pode‐se afirmar que a tração na corda inferior é de
A) 55,0 N 
B) 65,0 N 
C) 76,5 N 
D) 83,5 N

Gabarito: A

Sejam A e B as extremidades superior e inferior dos fios
Seja C o ponto onde está corpo e M o ponto médio de AB

AM = BM = 30 cm ---> CM² = AC² - AM² ---> R² = 50² - 30² ---> R = 40 cm = 0,4 m

m = 600 g = 0,6 kg

w = 20 rad/s

Fc = m.w².R ---> Fc = 0,6.20².0,4 ---> Fc = 96 N

Seja θ = MÂP ---> senθ = CM/AC --->Senθ = 4/5 ---> cosθ = 3/5

Tb.senθ + Ta.senθ = Fc ---> Tb.0,8 + Tb.0,8 = 96 ---> :0,8 ---> Ta + Tb = 120 ---> I

Ta.cosθ - Tb.cosθ = m.g --> Ta.0,6 - Tb;0,6 = 0,6.10 --> : 0,6 --> Ta - Tb = 10 --> II

I + II ---> 2.Ta = 130 ---> Ta = 65 N ---> Tb = 55 N

Muito obrigado, mestre!

Elcioschin escreveu:Sejam A e B as extremidades superior e inferior dos fios
Seja C o ponto onde está corpo e M o ponto médio de AB

AM = BM = 30 cm ---> CM² = AC² - AM² ---> R² = 50² - 30² ---> R = 40 cm = 0,4 m

m = 600 g = 0,6 kg

w = 20 rad/s

Fc = m.w².R ---> Fc = 0,6.20².0,4 ---> Fc = 96 N

Seja θ = MÂP ---> senθ = CM/AC --->Senθ = 4/5 ---> cosθ = 3/5

Tb.senθ = Ta.senθ + Fc ---> Monte equação I com Ta e Tb

Ta.cosθ + Tb.cosθ = m.g ---> Monte equação II com Ta e Tb

Calcule Ta e Tb

Olá Elcioschin, muito obrigado por postar sua resolução conosco. Estou com uma dúvida em relação à montagem das equações, se puder me esclarecer eu agradeço imensamente:


O Sr. monta a equação I da seguinte forma 
Tb.senθ = Ta.senθ + Fc

Isolando a força centrípeta temos:
Tb.senθ - Ta.senθ = Fc

ou seja: a força centrípeta (que atua na horizontal) é dada pela diferença entre as projeções horizontais das trações.
Eu não estou conseguindo visualizar o problema desta forma, pois na minha concepção as componentes horizontais da tração apontam na mesma direção e portanto se somam. Desta forma teríamos:
Tb.senθ + Ta.senθ = Fc

Ao passo que a equação II foi montada pelo Sr. de forma a somar as projeções verticais destas trações e igualá-las ao peso. Entretanto eu vejo a componente vertical da tração Ta apontar para cima e a componente vertical da tração Tb apontar para baixo, portanto, do meu ponto de vista, deveríamos igualar a diferença entre estas projeções ao peso. Tomando como positivo o sentido de y para cima, teríamos:
Ta.cosθ - Tb.cosθ = -m.g





O problema é que ao substituir os valores e resolver o sistema de equações, eu encontro Tb = 65 N e Ta = 55 N.
Já o gabarito me informa que Tb = 55 N, ou seja, devo estar invertendo os resultados de alguma forma.

O Sr. poderia me ajudar explicando um pouco com palavras o motivo de suas equações tomarem uma forma tão diferente das minhas? Onde estamos divergindo?
Obrigado.
Forte Abraço
Alex

Eu fiz o desenvolvimento de outra forma para resolver a esta questão. Considerando "a" o ponto inferior da haste e "b" como ponto superior e tomando o ângulo entre o raio do triângulo retângulo e o comprimento "l" do fio, sendo a soma dos ângulos internos igual a 2\theta, fiz o seguinte esquema:

Tb.cos(\theta) + Ta.sen(\theta) = Fcp

Tb.sen(\theta) = Ta.cos(\theta) + P

Ao fazer todo o desenvolvimento da questão (que de propósito pôs sen(\theta) = 0,6 e cos(\theta) = 0,, eu obtive para o valor da tensão no fio SUPERIOR de 65N e ao substituir em uma das Equações desenvolvidas achei os 55N para o valor de Ta, que é o gabarito.

Editei minha solução original, conforme muito bem explicado pelo colega dhoyz.

Aproveito para postar uma figura esclarecedora: