prisma

Ei, Gente! Estou com dúvida nessa questão aqui... Alguém poderia me ajudar?? Desde já obrigado
No prisma regular ABC-A'B'C' de volume V, se localizam os pontos médios M e N nas arestas BB', CC' respectivamente. As prolongações de A'N e AC se intersectam em P e as de A'M e AB se intersectam em Q. Calcule o volume do sólido MBCNPQ.
Resposta: 4V/3 

discordo do gabarito.

Oi, Medeiros, minha resposta bateu com o gabarito, você poderia conferir? 


Eu fiz a área do trapézio BCPQ que terá altura √3a/2
A=(2a + a).h/2
A=3a²√3/4

Logo após isso, fiz a base vezes a altura h/2 e dividi por dois, pois é metade do volume que seria o sólido completo caso prolongarmos M e N até os prolongamentos de P e Q . Ficando assim:


Sendo assim, calculei o volume:

V'= (3a²√3/4).(h/2)(1/2)
V'= 3a²√3/16

V'/V= (3a²√3/16)/ (a²√/4)
V'/V= 3/4
V'=3/4V


Não sei se consegui deixar claro o meu raciocínio

Oi Mônica.

Apesar de achar esse número 4/3 do gabarito um absurdo -- entendo mesmo que houve erro de digitação -- seu resultado de 3/4, sim, concorda com ele.

Entendi perfeitamente seu raciocínio. Mas foi para fugir desse cálculo que dei aquela volta tremenda.

Você considera o prisma reto de bases trapezoidais congruentes e diz que a metade desse volume é o volume requisitado. É com esta segunda parte (a da metade) que não concordo. Cortando o prisma do modo que fizeste, ficamos, grosso modo, com duas cunhas. Ocorre que uma das cunhas fica com base o dobro da outra -- uma com base a.h e a outra com base a.h/2 -- sendo que as outras bases (em ângulo reto) têm mesma dimensão. Para mim parece evidente que o volume de uma das cunhas é maior que o da outra.

Sim, o 4/3 é um absurdo mesmo hahaha
eu cheguei em 3/4 e pensei que pudesse ser erro de digitação do autor to tópico ou do material (acontece também).

Ainda não parei para entender certinha a tua explicação sobre o prisma reto de bases trapezoidais congruentes, pois estou morrendo de sono haha. Peço perdão! Porém amanhã, com mais calma, assim que abrir o fórum eu vou olhar certinho e tentar entender.

Vou fazer isso desenhando, pois visualizo melhor!

Agradeço muito a sua atenção, Medeiros! 

ps.: você usa tablet para fazer suas resoluções? eu achei bem interessante!

Mas foi boa a sua participação, Mônica, por dois motivos:
Primeiro (meu interesse pessoal) porque afinal percebi de onde tiraram aquele valor errado para o gabarito. Ao resolver, tinha vislumbrado o caminho que você adotou mas não cheguei a fazer as contas e ficava intrigado em como tinham chegado naquele valor.
Depois porque serve de exemplo aos colegas de que cortar um prisma por um plano diagonal contendo uma aresta nem sempre o divide em dois volumes iguais.

E a propósito, sim, uso um tablet já faz algum tempo (preguiça de consertar o computador). A vantagem é que ele tem uma tela de 12 polegadas, se fosse daquelas telas pequenas nem dava pra pensar.

Eu também estava estranhando seu valor ser tão diferente do gabarito (3/4V  e não 4/3V  )

Foi bom eu perceber isso!
Eu estou atrás de um programa para me auxiliar nos desenhos, porque às vezes fazendo no papel eu crio algumas falsas impressões!

Esse fórum tem me ajudado a sair da zona de conforto. Antes eu só consultava as resoluções, mas poder tentar ajudar tem me acrescentado muito.

Achei muito legal isso do tablet! Muita gente usa para estudar, parece bem prático (e economiza papel hahaha)

O valor a que cheguei não é tãão menor, apenas 11% menor. Apesar de que o valor do "gabarito" é errado. Você chegou no mesmo valor que eu?

Quanto aos desenhos, não é diferente fazer aqui na tela ou no papel. Aqui sofro ainda uma restrição: a tela fica congelada para eu desenhar e até eu terminar a resposta e salva-la não consigo consultar arquivos (se sair perde tudo), ou seja, tudo que faço deve sair da minha cabeça. Ainda com o agravante de que fico limitado ao tamanho da tela congelada e ao exibido nela, não consigo nem rolar página para rever as mensagens anteriores. A vantagem é que é rápido e escrevo como quiser.

Quando usava computador fazia os desenhos com a barra de ferramentas Desenho do winword. Devem haver desenhos meus muito antigos aqui no fórum feitos dessa forma, são os desenhos bonitos.

Um programa bom é o Geogebra mas não o tenho instalado aqui ainda.

Olá, Medeiros!
Eu não consegui fazer como você fez, mas depois que vi a resolução eu entendi. 
Eu sempre tive muita dificuldade em matemática, então às vezes eu faço alguns caminhos com mais operações matemáticas, mas que são mais tangíveis para mim. 


Ahhh, não sabia isso do tablet!
De qualquer forma, eu achei bem legal! deve ser bom para fazer provas sem precisar imprimir (penso eu)

Agradeço sua indicação! Eu nunca pensaria em usar o Word para desenhar! Achei muito bom!!!

Muito obrigado