Mudança de variáveis em integral dupla

Coloco aqui em desafio difícil que é também bastante pedagógico.

Numa integral dupla temos um termo dx \, dy a seguir à função. Por exemplo no caso

\int_a^b \int_c^d f(x,y) dx \, dy

Se quisermos mudar para coordenadas polares temos que substituir:

dx \, dy = r \ dr \, d\theta

Nesta substituição chamamos a r o Jacobiano que tem uma fórmula para calcular baseado num determinante de uma matriz.

Agora pergunto. E se eu fizer a substituição de variáveis à mão?

dx \, dy =d(r \cos (\theta)) \, d(r \sin (\theta)) = (\cos (\theta) dr - r \sin (\theta) d\theta ) \, (\sin (\theta) dr + r \cos (\theta) d\theta) = \\
= \cos (\theta) \sin (\theta) dr dr - r^2 \cos (\theta) \sin (\theta) d\theta d\theta + r \cos^2 (\theta) dr d\theta - r \sin^2 (\theta) d\theta dr

Esta não é a resposta certa. O desafio é:

Qual o problema desta conta? A resposta pode ser muito difícil de chegar lá!

Oiii, Dirac! Qual seria a resposta?

Puts. Já pensei nisso uma vez mas dps nem esquentei a cabeça de ir atrás pra entender o porque kkkkk Tem algo a ver com ser um produto vetorial a transformação? Tipo nas integrais de fluxo, ou algo assim.

Quando você tem a "multiplicação" dx*dy, na realidade não é uma multiplicação, mas uma representação de que se está integrando em torno de uma área com elemento infinitesimal dx e dy. O mesmo se faz com calculo de uma variável: você não está multiplicando a função pelo dx, mas sim integrando ao longo de dx.
Ou seja, o elemento dx só faz sentido se estiver dentro da integral.

Para mais de uma variável, substituir seria um erro conceitual, porque você está realizando uma transformação de um espaço vetorial para outro espaço vetorial(consequentemente a função e o domínio mudam), e somente substituir em dx e dy iria desconsiderar a transformação da função f e do domínio de integração.
Entender por exemplo que se
u(x) = sin(x)
então
du(x)/dx = sin(x)
então
du(x) = sin(x) dx
é errado nessa ultima linha, visto que um operador derivada é justamente um operador, e não um elemento que se multiplica, e não faz sentido o dx estar "multiplicando" o sin(x).

Em calculo de uma variável, realmente dá certo porque justamente o Jacobiano dá o mesmo resultado que você substituir direto a variável no dx.

Agora, por que fazemos a multiplicação do elemento dx como se fosse uma variável? Porque nos primeiros anos de curso de cálculo, dá certo e as contas batem para uma variável. Mas conceitualmente ainda é errado.
Exemplo de como substituimos e dá certo:

Assumiremos que u = sin(x), que du = cos(x) dx


Mas o correto de realizar a integração é:

Muito interessante, Carlos. Obrigada.

Tem algum material que fale mais sobre isso?

Não lembro onde vi exatamente, mas os livros de cálculo(principalmente os do Guidorizzi) normalmente falam sobre isso. Mas a formalidade é bem mais vista nos cursos de Análise Real.

Nunca estudei análise real, mas o que sei foi visto nas disciplinas de cálculo na universidade, mais especificamente em cálculo 3(cálculo de várias variáveis).
O livro do Guidorizzi que trata de calculo de várias é o terceiro volume: Um curso de Cálculo - Vol. 3 - Hamilton L. Guidorizzi