(CESGRANRIO) Números complexos

por Victor Luz Ter 29 maio 2018, 14:00

Se z=x+yi um número complexo não nulo, onde x e y são reais. Se a e b são números reais tais que: (CESGRANRIO) Números complexos <a href=

$(CESGRANRIO) Números complexos Gif$ podemos afirmar que:

a) |a|+|b| < 1
b)a=-b
c)a=b=1
d)a²+b²=1
e)a > 0 e b > 0

gabarito:

por renan2014 Ter 29 maio 2018, 15:10

Vou usar a forma trigonométrica dos complexos.

Se z é um complexo, então posso chamar ele de $z=\rho .cis\theta$

Se $z=\rho .cis\theta$ , então seu conjugado é $\overline{z}=\rho .cis(-\theta)$ .

Substituindo, teremos:
$\frac{x-yi}{x+yi}=\frac{\rho .cis(-\theta)}{\rho .cis\theta}=\frac{cis(-\theta)}{cis\theta}=cis(-2\theta)$

$cis(-2\theta)=cos(-2\theta)+.sen(-2\theta)i=a+bi$

Por a e b serem reais, então podemos igualar a parte real e a parte imaginária de ambos os membros.

$a=cos(-2\theta)$

e

$b=sen(-2\theta)$

Analisando as alternativas, encontramos a²+b²=1 que é verdade pois cos²(-2theta)+sen²(-2theta) é realmente 1

por Nic.cm Ter 29 maio 2018, 16:08

renan2014 escreveu:Vou usar a forma trigonométrica dos complexos.

Se z é um complexo, então posso chamar ele de $z=\rho .cis\theta$

Se $z=\rho .cis\theta$ , então seu conjugado é $\overline{z}=\rho .cis(-\theta)$ .

Substituindo, teremos:
$\frac{x-yi}{x+yi}=\frac{\rho .cis(-\theta)}{\rho .cis\theta}=\frac{cis(-\theta)}{cis\theta}=cis(-2\theta)$

$cis(-2\theta)=cos(-2\theta)+.sen(-2\theta)i=a+bi$

Por a e b serem reais, então podemos igualar a parte real e a parte imaginária de ambos os membros.

$a=cos(-2\theta)$

e

$b=sen(-2\theta)$

Analisando as alternativas, encontramos a²+b²=1 que é verdade pois cos²(-2theta)+sen²(-2theta) é realmente 1

teria como resolver de outro modo ? sem ser pela forma trigonométrica ?