Relações Métricas no Triângulo

por Abrakadraaaa Sáb 05 maio 2018, 00:51

Um ponto B pertence ao segmento AC, dista 2 cm do ponto A e 1 cm do ponto C. Qual a medida do raio do círculo que tangencia exteriormente os círculos de diâmetro AB e BC e tangencia interiormente o círculo de diâmetro AC?

A) 1/3 cm
B) 2/5 cm
C) 3/7 cm
D) 4/6 cm
E) 5/11 cm

(Infelizmente não tenho o gabarito da questão.)

por **Tess** Sáb 05 maio 2018, 02:30

Amigo,
posso estar errado, mas meu resultado não bate com as alternativas...

Sendo G e K os pontos de tangencia, J o centro da circunferência em questão, E o centro da circunferência de diâmetro BC, D o centro da circunferência de diâmetro AB e JK=x o raio pedido, temos, de acordo com o enunciado:

BD=1; EB=1/2; EG=1/2; DK=1; JK=x; JG=x

então BE=3/2 ; DJ=1+x ; JE=1/2+x

Pitágoras nisso:

(3/2)^2 + (1/2+x)^2 = (1+x)^2 —-> x=3/2

por **Tess** Sáb 05 maio 2018, 02:32

Desculpa qualquer erro. Estou pelo celular.

por Abrakadraaaa Sáb 05 maio 2018, 13:03

Pode haver erro nas alternativas também. Mas muito obrigado pela resolução!

por Abrakadraaaa Sáb 05 maio 2018, 14:38

Meu desenho pode estar correto?

por **Tess** Sáb 05 maio 2018, 15:18

Na verdade, acho que o seu desenho está certo e o meu errado. Entendi errado o conceito de tangente interna.

por Abrakadraaaa Dom 06 maio 2018, 00:32

Cara, consegui encontrar a resposta. Seguindo o desenho que eu fiz é possível perceber que se traçarmos uma reta que liga os pontos D, J e L, teremos um segmento de reta que corresponderá ao valor do raio do círculo maior, que corresponde a 3/2 cm. Outra análise a ser feita é que a reta DJ é uma ceviana do triângulo marcado na imagem, e tal ceviana vale: 3/2 - R cm.

Seguindo o que foi analisado, podemos utilizar o Teorema de Stewart, dessa maneira, obteremos a seguinte equação:

Fazendo os cálculos, encontramos como resposta final R = 3/7 cm.

por **raimundo pereira** Dom 06 maio 2018, 21:54

Como já tinha resolvido e não tive tempo de postar , aproveito para confirmar a resolução do clg.

por **Tess** Sáb 12 maio 2018, 22:35

Abrakadraaaa escreveu:Cara, consegui encontrar a resposta. Seguindo o desenho que eu fiz é possível perceber que se traçarmos uma reta que liga os pontos D, J e L, teremos um segmento de reta que corresponderá ao valor do raio do círculo maior, que corresponde a 3/2 cm. Outra análise a ser feita é que a reta DJ é uma ceviana do triângulo marcado na imagem, e tal ceviana vale: 3/2 - R cm.

Seguindo o que foi analisado, podemos utilizar o Teorema de Stewart, dessa maneira, obteremos a seguinte equação:

Fazendo os cálculos, encontramos como resposta final R = 3/7 cm.

Desculpa a demora pra responder. Só vi agora kk

Enfim,

eu fiquei horas tentando resolver isso depois que percebi que fiz errado. Desconhecia essa relação, então valeu por compartilhar Very Happy