Arco triplo
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Arco triplo
por albert Qui 09 Jun 2011, 22:26
(UFC) Expresse cos (3x) em função de cos x. Use este resultado para mostrar que cos 20º não é um número racional.
Por meio das fórmulas do arco duplo, consegui resolver a primeira parte do exercício, cujo resultado é 4 cos³x - 3 cos x. Não estou conseguindo resolver o segundo item... Podem me ajudar?
Obrigado!
Por meio das fórmulas do arco duplo, consegui resolver a primeira parte do exercício, cujo resultado é 4 cos³x - 3 cos x. Não estou conseguindo resolver o segundo item... Podem me ajudar?
Obrigado!
albert- Padawan
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Re: Arco triplo
por luiseduardo Qui 09 Jun 2011, 23:03
Ok, não é dificil provar isso:
cos 3x = 4cos³ x - 3cos x
Sendo x = 20 graus,
cos (3*20) = cos 60
4.cos³20 - 3.cos 20 = cos 60
4.cos³20 - 3.cos 20 = 1/2
8.cos³20 - 6.cos 20 - 1 = 0
y = cos 20
8y³ - 6y - 1 = 0
Usando o teorema das raizes racionais:
p são os divisores de -1: {+-1}
q são os divisores de 8: {+- 1, +- 2, +- 4, +- 8}
p/q = {+- 1, +- 1/2, +- 1/4, +- 1/8}
cos 20 > 0, dessa forma já podemos eliminar os valores negativos.
Testando esses valores na equação encontrada, podemos perceber que nenhuma das raízes racionais irão satisfazer a equação.
Assim, a equação só tem raízes irracionais. Então, cos 20 é irracional !
cos 3x = 4cos³ x - 3cos x
Sendo x = 20 graus,
cos (3*20) = cos 60
4.cos³20 - 3.cos 20 = cos 60
4.cos³20 - 3.cos 20 = 1/2
8.cos³20 - 6.cos 20 - 1 = 0
y = cos 20
8y³ - 6y - 1 = 0
Usando o teorema das raizes racionais:
p são os divisores de -1: {+-1}
q são os divisores de 8: {+- 1, +- 2, +- 4, +- 8}
p/q = {+- 1, +- 1/2, +- 1/4, +- 1/8}
cos 20 > 0, dessa forma já podemos eliminar os valores negativos.
Testando esses valores na equação encontrada, podemos perceber que nenhuma das raízes racionais irão satisfazer a equação.
Assim, a equação só tem raízes irracionais. Então, cos 20 é irracional !
luiseduardo- Membro de Honra
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Re: Arco triplo
por albert Qui 09 Jun 2011, 23:16
Tinha chegado na equação, mas não lembrava deste teorema... Sua resposta foi bastante elucidativa. Mais uma vez, obrigado pela ajuda!
albert- Padawan
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