Circunferência I

por Orihara Qua 25 Out 2017, 16:14

(UFPR) Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, a equação de uma circunferência C é x² + y² - 2y - 7 = 0. Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto (2, 3), e que r contém o centro da circunferência C.
Assim, é correto afirmar:

(01) O ponto (2, 3) pertente à circunferência C.

(02) A reta s é tangente à circunferência C.

(04) A circunferência C intercepta o eixo y nos pontos de ordenadas 1 + 2√2 e 1 - 2√2.

(08) A reta s tem coeficiente angular menor que -1.

(16) A reta t, paralela à reta s e que passa pela origem do sistema de coordenadas, não intercepta a circunferência C.

Gabarito:

Preciso de auxílio nas alternativas em destaque. Obrigado.

por **Giovana Martins** Qua 25 Out 2017, 17:36

Pelo enunciado, o ponto (2,3) pertence à reta r bem como o ponto (0,1), o qual representa o centro da circunferência. Logo, a equação da reta r é dada por y=x+1. Se s é perpendicular a r, logo, o coeficiente angular da reta s é dado por:

m'=(-1)/m'', em que m'' é o coeficiente angular da reta r. Logo:

m'=(-1)/1=-1.

Como a reta s passa pelo ponto (2,3), tem-se que a equação da reta s é dada por y=-x+5.

Como sabemos que r contém o centro da circunferência e r e s interceptam-se justamente em um ponto que pertence à circunferência, logo, a reta s só pode ser tangente a circunferência (Desenhe, em um plano xy, as retas e a circunferência para que você possa enxergar o que eu disse.). Se você preferir, podemos descobrir se s é ou não tangente à circunferência por meio de cálculos, veja:

Do sistema formado por y=-x+5 e x²+y²-2y-7=0, tem-se:

x²+(-x+5)²-2.(-x+5)-7=0 -> x²-4x+4=0

Se ∆ = 0, s é tangente à circunferência;

Se ∆ > 0, s é secante à circunferência;

Se ∆ < 0, s não intersecta a circunferência.

∆=(-4)²-(4).(1).(4)=0, logo, s é tangente à circunferência.

Se t // s, logo, o coeficiente angular da reta t é igual ao da reta s. Como t passa pela origem, a sua equação é descrita por y=-x. Resolva o sistema formado pela equação da reta t e pela equação da circunferência e você verá que a reta t é secante à circunferência.