Raízes dos polinômios
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Raízes dos polinômios
por Liliana Rodrigues Qua 05 Jul 2017, 16:36
(UFPR) Dadas as equações x² + x + 1 = 0 e x³ – 1 = 0, podemos afirmar que
A) apenas uma das raízes de x² + x + 1 = 0 satisfaz x³ – 1 = 0.
B) a soma das raízes de x² + x + 1 = 0 satisfaz x³ – 1 = 0.
C) as raízes da equação x² + x + 1 = 0 satisfazem x³ – 1 = 0.
D) as raízes da equação x² + x + 1 = 0 não satisfazem x³ – 1 = 0.
E) as raízes da equação x³ – 1 = 0 estão em progressão aritmética.
Resposta: c)
As raízes da primeira equação deram (-1+i√ 3)/2 e (-1-i√ 3)/2, e da segunda equação deu 1 como raiz tripla. Substituindo as raízes da primeira equação na segunda, não satisfaz... Onde está errado??
A) apenas uma das raízes de x² + x + 1 = 0 satisfaz x³ – 1 = 0.
B) a soma das raízes de x² + x + 1 = 0 satisfaz x³ – 1 = 0.
C) as raízes da equação x² + x + 1 = 0 satisfazem x³ – 1 = 0.
D) as raízes da equação x² + x + 1 = 0 não satisfazem x³ – 1 = 0.
E) as raízes da equação x³ – 1 = 0 estão em progressão aritmética.
Resposta: c)
As raízes da primeira equação deram (-1+i√ 3)/2 e (-1-i√ 3)/2, e da segunda equação deu 1 como raiz tripla. Substituindo as raízes da primeira equação na segunda, não satisfaz... Onde está errado??
Liliana Rodrigues- Estrela Dourada
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Re: Raízes dos polinômios
por Mathematicien Qua 05 Jul 2017, 17:00
x² + x + 1 = 0 e x³ – 1 = 0
x³ - 1 = x³ - 1³ = (x - 1)(x² + x + 1) --> produto notável da diferença de cubos.
Note que x³ - 1 pode ser escrito como (x - 1)(x² + x + 1). Logo, todas as raízes de x² + x + 1 são raízes, também, de x³ - 1. Com isso, já temos que a resposta é (C).
x³ - 1 = x³ - 1³ = (x - 1)(x² + x + 1) --> produto notável da diferença de cubos.
Note que x³ - 1 pode ser escrito como (x - 1)(x² + x + 1). Logo, todas as raízes de x² + x + 1 são raízes, também, de x³ - 1. Com isso, já temos que a resposta é (C).
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