máximo divisor comum

por Naval2018 Qua 05 Jul 2017, 12:06

Dois N°s inteiros têm soma 96 e o MDC = 12. Dar o maior dos dois, sabendo que o produto deles deve ser o maior possível:

a)48
b)84
c)60
d)72
e)36

Gabarito C

por **Elcioschin** Qua 05 Jul 2017, 13:55

Sem usar Álgebra:

12 + 84 ---> 12.84 = 1008
26 + 72 ---> 24.36 = 1728
36 + 60 ---> 36.60 = 2160
48 + 48 ---> 48.48 = 2304

O enunciado diz "o maior deles", logo não pode ser 48 e 48

Logo o maior produto é 2160 e o maior dos números é 60 ---> C

por **fantecele** Qua 05 Jul 2017, 15:14

Outra maneira é ver que os números podem ser escritos como sendo a.12 e b.12, com a e b inteiros e primos entre si. Dessa forma:
a.12 + b.12 = 96
a + b = 8

Para que a multiplicação deles seja máxima (a.12.b.12 = 144.a.b) devemos ter a.b máximos.
Considere a equação de segundo grau em que "a" e "b" sejam as raízes:
x² - (a+b)x + a.b = 0 → x² - 8x + a.b = 0
A partir disso temos que:

$a;b = \frac{8\pm \sqrt{64-4.a.b}}{2}$

Sendo "a.12" e "b.12" números diferentes (já que o mdc entre eles é 12), tiramos que o maior valor possível para a.b é igual a 15. Dessa forma temos que a = 5 e b = 3 ou a = 3 e b = 5.
Portanto o maior deles é igual a 5.12 = 60.

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