Arco da curva

por jcpv Ter 11 Abr 2017, 23:00

Para cada t>0, considere o arco da curva

Arco da curva Dnrowa10

Dentre esses, o de comprimento mínimo é aquele em t é igual a
a)7/6
b)4/3
c)3/2
d)5/3
e)11/6

por **mauk03** Sáb 15 Abr 2017, 23:40

O comprimento do arco é dado por:
$C(t)=\int_{t}^{t+1} \sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx=\int_{t}^{t+1} \sqrt{1+\left ( 3x^2+2x-\frac{29}{2} \right )^2}dx$

Para C(t) ser mínimo deve-se ter C'(t) = 0, ou seja:
$\frac{d}{dt}\int_{t}^{t+1} \sqrt{1+\left ( 3x^2+2x-\frac{29}{2} \right )^2}dx=0$
$\Rightarrow \sqrt{1+\left ( 3(t+1)^2+2(t+1)-\frac{29}{2} \right )^2}-\sqrt{1+\left ( 3t^2+2t-\frac{29}{2} \right )^2}=0$
$\Rightarrow \sqrt{1+\left ( 3(t+1)^2+2(t+1)-\frac{29}{2} \right )^2}=\sqrt{1+\left ( 3t^2+2t-\frac{29}{2} \right )^2}$
$\Rightarrow \left (3(t+1)^2+2(t+1)-\frac{29}{2} \right )^2=\left (3t^2+2t-\frac{29}{2} \right )^2$
$\Rightarrow 3(t+1)^2+2(t+1)-\frac{29}{2}=\pm \left (3t^2+2t-\frac{29}{2} \right )$
$\Rightarrow \left (t=-\frac{5}{6} \right )\vee \left (t=-3 \right )\vee \left (t=\frac{4}{3} \right )$

Como t>0, então t=4/3.

Arco da curva

Arco da curva

Re: Arco da curva

Um fórum livre e democrático.