Distancia (Diedros)

Um plano alfa passa pela hipotenusa AB de um triangulo retângulo ABC; alfa forma um diedro de 60° com o plano do triangulo ABC. Encontrar a distancia do vertice C do triangulo ao plano alfa, sabendo que os lados AC e BC medem respectivamente b e c.

gabarito:

hipotenusa ----> a = \/(b² + c²)

Altura do triângulo relativo à hipotenusa = h ----> a*h = bc ----> h = bc/ \/(b² + c²)

sen(alfa) = x/h ----> x = h*sen(alfa) ----> x = [bc/\/(b² + c²)]*(\/3/2) ----> x = bc\/3/2\/(b² + c²)

Como ter certeza de que h é a hipotenusa do triângulo que contém esse lado e a distância de C ao plano alfa?

Ah tá, é porque essa distância é perpendicular ao plano. Logo, o lado que opõe-se ao ângulo reto que ela forma com o outro cateto é h. (é isso, né?)

A altura CH = h (relativa à hipotenusa é perpendicular a ela
Logo h é perpendicular à junção entre o plano e a hipotenusa
Neste caso CH = h faz um ângulo de 60º com o plano
Trace uma reta r no plano, perpendicular à hipotensa passando por H 
Por C trace uma perpendicular a r (e portanto ao plano), Seja P o pé desta perpendicular (sobre a reta r)

CP é a distância do vértice C ao plano

AB.CH = bc ----> \/(b² + c²).CH = bc ----> CH = bc/ \/(b² + c²)
 
Note agora o triângulo CPH, retângulo em P ---> P^HC = 60º

CP = CH.sen60º -----> CP = [bc/ \/(b² + c²)].(\/3/2) ----> CP = bc.\/3/2.\/(b² + c²)