Recorrência - PA

Considere a recorrência definida por a1 = 1, a2 = 4 e, para n>=3, an = 4.a(n-1) - 4.a(n-2). Quantos dígitos possui o termo a8 ?


gab: 4


Como resolver essa questão por recorrência ?

E aí Luís Eduardo, beleza?

Estou aprendendo recorrência, fiz este mesmo exercício hoje!

an= 4a(n-1) - 4a(n-2)

Supondo que haja alguma solução do tipo an=b.q^n, na qual b diferente de zero assim como q.

Podemos escrever a(n-1)=b.q^(n-1) e a(n-2)=b.q^(n-2)

Voltando à equação original:

b.q^n =4b.q^(n-1) - 4.b.q^(n-2)

b.q^n -4b.q^(n-1) + 4.b.q^(n-2) =0

[b.q^(n-2)](q^2 -4q +4) =0

Como b.q^(n-2) diferente de zero

q^2 -4q + 4 =0

(q-2)^2 =0

O que significa que a nossa solução deve ser do tipo an=(A + Bn).q^(n) pois possui raiz dupla. (Obs: se fosse do tipo (q-j)(q-u) j diferente de u , a solução seria an=A.(j)^n + B(u)^n ) (infelizmente não sei demonstrar isso ainda)

e q=2

an=(A+Bn).2^n

Como a1=1 e a2=4

a1=(A+B).2

A + B = 1/2 (i)

a2=(A+2B).4

A + 2B = 1 (ii)

(i) - (ii)

B=1/2

A=0

Logo: an=(1/2)n.2^n
an=n.2^(n-1)

a1=1.2^(1-1)=1 ok

a2=2.2^(2-1)=4 ok

a3 = 4a2 - 4a1 a3= 4.4-4.1 = 12

a3=3.2^(3-1) a3=12 ok

a4= 4a3 - 4a2

a4=4.12 - 4.4 a4=32

a4=4.2^(4-1) a4=32 ok

a8=8.2^(8-1)

a8=(2^3).2^(7)

a8=2^(10)= 1024

a8 possui 4 dígitos cqd


Provando que a solução está correta:

an=n.2^(n-1)

a(n-1)=(n-1).2^(n-2)

4a(n-1)=(n-1).2^(n)

a(n-2)=(n-2).2^(n-3)

4a(n-2)=(n-2).2^(n-1)

an - 4a(n-1) + 4a(n-2) = T

n.2^(n-1) - (n-1).2^n + (n-2).2^(n-1) = T

(2n -2).2^(n-1) - (n-1).2^n = T

2(n-1).2^(n-1) - (n-1).2^n = T

(n-1).2^n - (n-1).2^n =T

T=0 cqd

Abraço