Análise Combinatória - Combinação

(INSPER-2014)Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é:
 a) 140.
 b) 120.
 c) 70.
 d) 60.
 e) 40. 

RESOLUÇÃO: Número de opções para a escolha da cidade: C2,1 = 2. 
Ao se constituir o grupo com 2 times sul-americanos e 2 europeus, automaticamente , fica constituído o grupo com 1 time sul-americano e 3 europeus. Esses grupos podem ser formados de:
 C3,2 × C5,2 = 30 modos diferentes.
 Então, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é C2,1 × (C3,2 × C5,2) = 2 × 30 = 60. 

RESPOSTA: Alternativa D. 

Minha dúvida é o porquê não é necessário realizar esta conta:

Combinação sul-americanos x Combinação europeus:
C3,1 X C5,3

C(3, 1) = C(3, 2) = 3

Assim, C(3, 1) já está incluído na multiplicação por 2. Veja porque

Na cidade A, existem 2 possibilidades

1) 1 sul-americano e 3 europeus ----> C(3, 1).C(4, 3) = 3.4 = 12
2) 2 sul-americanos e 2 europeus ---> C(3, 2).C(4, 2) = 3.6 = 18

Total na cidade A = 12 + 18 = 30
Total na cidade B idem = 30

Total geral = 30 + 30 = 60

Obrigada Elcioshin!!!

LuMR escreveu:(INSPER-2014)Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é:
 a) 140.
 b) 120.
 c) 70.
 d) 60.
 e) 40. 

RESOLUÇÃO: Número de opções para a escolha da cidade: C2,1 = 2. 
Ao se constituir o grupo com 2 times sul-americanos e 2 europeus, automaticamente , fica constituído o grupo com 1 time sul-americano e 3 europeus. Esses grupos podem ser formados de:
 C3,2 × C5,2 = 30 modos diferentes.
 Então, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é C2,1 × (C3,2 × C5,2) = 2 × 30 = 60. 

RESPOSTA: Alternativa D. 

Tem como fazer calculando a C8,4? 

C8,4 = 70, então há 70 possibilidade de os times serem escolhidos. 

Agora, na hora de definir a exigência que os três países sul-americanos não fiquem no mesmo grupo, eu travei.

Não dá para fazer assim.

Elcioschin escreveu:C(3, 1) = C(3, 2) = 3

Assim, C(3, 1) já está incluído na multiplicação por 2. Veja porque

Na cidade A, existem 2 possibilidades

1) 1 sul-americano e 3 europeus ----> C(3, 1).C(4, 3) = 3.4 = 12
2) 2 sul-americanos e 2 europeus ---> C(3, 2).C(4, 2) = 3.6 = 18

Total na cidade A = 12 + 18 = 30
Total na cidade B idem = 30

Total geral = 30 + 30 = 60

Não entendi pq não faz a combinação dos europeus considerando os 5 países, tipo C(5,2)

Veja a ordem das escolhas, na resolução postada inicialmente:

Primeiro escolhe-se 2 sul-americanos para fazer parte do 1º grupo 

C(3, 2) = 3 ---> (U e B) ou (U e A) ou (B e A) 

Depois escolhe-se 2 europeus entre os 5 para ir para o 1º grupo: C(5, 2) = 10

Automaticamente ficaram definidos

1) O sul-americano que vai para o 2º grupo
2) Os dois europeus que vão para o 2º grupo

n = C(2, 1).C(3, 2).C(5, 2) = 2.3.10 = 60

fazer dessa forma está certo?

C8,4 = 70 (total)

considerando BR, URU e ARG no mesmo grupo (A), e a outra vaga ocupada por um dos europeus

 BR URU ARG C5,1 (grupo A) ----- grupo B -> C4,4 = 1  [total de formas 5]

ou

considerando BR, URU e ARG no mesmo grupo (B), o total de formas tbm será 5, totalizando 10 formas 

ou seja, 70-10 = 60 maneiras diferentes

Está correto, sim.