analitica

uesb 2015 O conjunto de todos os pontos do plano que estão 2 vezes mais distantes da origem do que do ponto P(0,-6) constitui: 
01) uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas.
02) uma parábola com vértice no ponto V(0,-4).
03) elipse com um vértice no ponto V(0,-4).
04) uma circunferência de raio 2.
05) uma circunferência de raio 4.
 resposta letra 05, pq ela é verdadeira?

Distância de ponto a ponto: √[(x-x')²+(y-y')²]


D(x,o)=2.D(x,P)


Onde:D(x,o)= distância de um ponto x à origem; D(x,P)= distância de um ponto x ao ponto P

{√[(x-0)²+(y-0)²]}²={2√[(x-0)²+(y-(-6))²]}²--->(x)²+(y)²=4[(x)²+(y+6)²]---> 0=y²+x²+16y+48+16-16--->4²=( y+8 )²+x²

Desenhe um sistema xOy e plote, em escala, o ponto P(0, - 6)

Existe um ponto A, no semi-eixo Y- que atende à condição dada: A(0, - 4):

AO = 4 ---> AP = 2 ---> AO = 2.AP

Existe outro ponto B no mesmo eixo: P(0, - 12):

BO = 12 --> BP = 6 ---> BO = 2.BP

Existe outro ponto D(- 4, -8 ), que atende:

DO² = (0 + 4)² + (0 + 8 )² ---> DO² = 80 ---> DO = 4.√5

DP² = (0 + 4)² + (-6 + 8 )² ---> DP² = 20 ---> DP = 2.√5 ---> DO = 2.DP

Idem para o ponto E(4, - 8 ) ---> EO = 4.√5 ---> EP = 2.√5 ---> EO = 2.EP

Se você plotar os pontos A, B, D, E, verá que é uma circunferência de centro C(0, -8 ) e raio CA = CB = CD = CE = 4

Plote agora um ponto genérico T(xT, yT), calcule TO e TP e prove que TO = 2.TP