O funileiro em apuros

Um funileiro dispõe de uma chapa de de alumínio de pequena espessura, em forma de um círculo de raio R.
Ele pretende retirar dela um setor circular de ângulo  e com a parte restante construir um funil.
O cliente que fez o pedido exigiu que o funil tivesse capacidade máxima.
O funileiro quebrou a cabeça tentando resolver o problema e não conseguiu.
Alguém deste fórum pode ajudar o pobre coitado, indicando qual deve ser o valor aproximado do ângulo A ?

a) 22º ............... b) 44º ................ c) 66º ................... 72º ................... e) 90º

Travei nessa parte:


Se considerar m=4n, ainda assim fica dificil.

Vinicius

Sugiro um caminho diferente, para facilitar os cálculos:

Chame de x o comprimento do arco que sobrou após a retirada do setor:

x = 2*pi*r ----> r = x/2*pi

Altura do cone ----> h = \/(R² - x²)

Volume do cone ----> V = (pi/3)*r²*h

Desenvolva e calcule o máximo de V em função de (R, x).
Vc verá que é muitíssimo semelhante ao problema da máxima iluminação.
Encontre o valor de x (em função de R) que torna V máximo

Calculado x, facilmente se encontra  = 2*pi - x

Estou bastante frustrado, não consegui resolver...
tentativa:

Vinicius

Note que dentro radical temos a parcela R² - x²/4pi²
Devemos ter fora do radical a parcela x²/4pi², de modo que a soma das duas parcelas seja R² (constante)

V = (pi/3)*(x²/4pi²)*\/(r² - 4pi²)

3V/pi = (x²/4pi²)*\/(R² - x²/4pi²)

Elevando ao quadrado ----> 9V²/pi² = (x²/4pi²)²*(R² - x²/4pi²) ----> V' = (x²/4pi²)*(R² - x²/4pi²)

O máximo de V' coincide com o máximo de V

Agora continue