Geometria espacial

21. (IME-85/86) Dadas duas esferas de raios respectivamente iguais a R e r, tangentes exteriores,
e um cone circunscrito a elas, calcule a área da superfície lateral do tronco de cone que tenha por
bases os círculos de contato das esferas com o cone.

Faça um bom desenho com a esfera maior de centro O em baixo e a menor, de centro C em cima

Trace as tangentes externas até se encontrarem no ponto V (vértice do conte)

Trace uma reta horizontal no ponto E mais baixo da maior, até encontra as tangentes em A e B

Trace a reta VE que passa por O  e C

Sejam M e N os pontos de tangência de VA com a maior e a menor (idem P e Q com VB)

Seja T o ponto de tangência das duas e seja x = A^VE = B^VE

Trace os raios R = OM = OP = OE = OT e r = CT = CN = CQ e trace MN e PQ

Por C trace uma perpendicular a OM, no ponto D:

OT = R + r ---> MD = NC = r --> OD = R - r

CD² = OC² - OD² ---> CD² = (R + r)² - (R - r)² ---> CD = 2.√(R.r) -->MN = 2.√(R.r)

Semelhança de triângulos ---> OCD = x ---> O^MN = O^NM = x ---> C^NQ = C^QN = x

No triângulo retângulo C^DO ---> cosx = CD/OC ---> cosx = 2.√(R.r)/(R + r)

No triângulo MOP ---> MP = OM.cosx + OP.cosx ---> MO = 2.R.cosx ---> MP = 4.R.√(R.r)/(R + r)

De modo similar, no triângulo NCQ ---> NQ = 4.r.√(R.r)/(R + r)

Os raios do tronco são R' = MP/2 = 2.R.√(R.r)/(R + r) e r' = NQ/2 = 2.r.√(R.r)/(R + r)

Calcule agora a altura e o volume do tronco

Ok.
Muito Obrigado pela ajuda!