Cálculo da Gravidade (s/ rotação)

por **Claudir** Qui 07 Abr 2016, 23:14

Aqui utilizaremos a Lei da Gravitação Universal, desenvolvida por Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), para demonstrar o cálculo da aceleração da gravidade à qual um corpo de massa m estará submetido em três situações distintas, desconsiderando os efeitos da rotação do "planeta" de massa M em questão.

1) Superfície (g_sup):

$P=F_g\to mg=\frac{GMm}{R^2}\to \boxed{g_{sup}=\frac{GM}{R^2}}$

2) Altitude h (g_h):

$P_h=F_g'\to mg_h=\frac{GMm}{(R+h)^2}\to \boxed{g_h=\frac{GM}{(R+h)^2}}$

3) Profundidade p (g_p):

$P_p=F_g''\to mg_p=\frac{GM^*m}{(R-p)^2}\to g_p=\frac{GM^*}{(R-p)^2}\ \ (I)$

$\frac{M}{4/3\pi R^3}=\frac{M^*}{4/3\pi (R-p)^3}\to M^*=\frac{(R-p)^3M}{R^3}\ \ (II)$

$(II)\ em\ (I):\ \boxed{g_p=\frac{GM(R-p)}{R^3}}$

- Porque consideramos apenas a influência de M*, nesse caso?
Pois consideramos que p é muito menor que R, ou seja, a camada de espessura p é considerada uma "casca esférica".
*Ver discussão abaixo.

Ainda podemos obter o gráfico de g x d:

por **Christian M. Martins** Qui 07 Abr 2016, 23:23

Muito interessante, Pré-Iteano. Jamais imaginei que a gravidade aumentava com a distância do núcleo até a superfície.

por **Claudir** Qui 07 Abr 2016, 23:32

É mesmo pouco intuitivo sem os cálculos, Christian. Que bom que gostou. Wink

por **jango feet** Dom 01 maio 2016, 23:37

Ei cara, mas se p é muito pequeno então poderíamos simplesmente aproximar o resultado de m* para m, não é mesmo?

por **Claudir** Qui 05 maio 2016, 17:30

jango feet, ao substituirmos por valores numéricos, os termos M e M* serão, de fato, muito próximos e poderemos considerar que sejam iguais, ou seja, a gravidade a uma profundidade p pequena ainda seria aproximadamente a mesma da superfície.

Mas, a rigor, adotar M* torna a fórmula mais precisa à medida que aumentamos o valor de p (vide o gráfico acima).

por **Claudir** Ter 21 Jun 2016, 17:44

* Adendo relativo ao último comentário:

O Teorema das Cascas Esféricas de Newton garante que a força gravitacional resultante em um objeto localizado no interior de uma casca esférica, de espessura infinitesimal e com distribuição de massa uniforme ao longo de sua superfície, é nula.

Portanto, por mais que o valor de p (profundidade) seja grande, sempre poderemos imaginar cascas esféricas sobrepostas umas às outras, de forma que a atração gravitacional resultante exercida pelo conjunto de cascas ainda será nula, ou seja, de fato, apenas a porção de massa M* terá influência sobre a gravidade a qual o corpo estará sujeito.