Cálculo da Gravidade (c/ rotação)

por **Claudir** Dom 03 Jul 2016, 18:14

Demonstraremos, aqui, um método pelo qual podemos obter o valor da aceleração da gravidade em um ponto P, com latitude arbitrária, em determinado planeta com velocidade angular ω e raio R (considerando algumas simplificações práticas):

Consideremos a ilustração a seguir:

g: aceleração referente apenas à atração gravitacional
a: aceleração referente à força centrípeta, em função de ω
θ: ângulo entre os vetores "a" e "g"

Sabemos que:

$\overrightarrow{g}_{ap}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{a}$

$a=\omega ^2.r,\ r=R.cos\theta\to a=\omega ^2.R.cos\theta$

Isolando os vetores para melhor analisarmos suas componentes:

Vemos que:

$\\\\g_1=g-a.cos\theta=g-\omega ^2.R.cos^2\theta\\\\g_2=a.sen\theta=\omega ^2.R.cos\theta.sen\theta\\\\\overrightarrow{g}_{ap}=\overrightarrow{g_1}+\overrightarrow{g_2}$

Mas:

$\omega ^2.R\ll g\to g_2\ll g_1$

Logo, a componente g₂ será desprezada para cálculos práticos.

Portanto:

$\\\\g_{ap}\approx g_1\\\\\boxed{g_{ap}\approx g-\omega ^2.R.cos^2\theta}$

A partir do exposto, podemos obter dois resultados notáveis:

$\\\\\theta=0^o\ (equador):\ g_{ap}=g-\omega ^2.R\\\\\theta=\pm 90^o\ (polos):\ g_{ap}=g$

* É claro que podemos obter o valor de g_ap, ainda sem considerar as simplificações feitas, utilizando a lei dos cossenos no triângulo de vetores:

$\\\\g_{ap}^2=g^2+a^2-2.g.a.cos\theta\\\\g_{ap}=\sqrt{g^2+a^2-2.g.a.cos\theta}\\\\\boxed{g_{ap}=\sqrt{g^2+\omega ^2.R.cos^2\theta.(\omega ^2.R-2.g)}}$

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