[Oscilação amortecida]

Um oscilador amortecido de massa m=1,0 Kg, constante elástica K=400 N/m e constante de amortecimento b= 1 kg/s, sujeito a uma força externa F(t)= Fo cos (wt), sendo Fo= 20 N. 

a) Qual a amplitude do movimento no limite de baixas frequências? 

b) Qual o valor da amplitude do movimento no regime de ressonância?

c) Determine o fator Q de qualidade deste sistema. Há algum modo de aumentar Q?

Equação diferencial da oscilação amortecida e forçada:

\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_0^2x=\frac{F_0}{m}\cos{(\omega t)}

Em que \omega_0=\sqrt{\frac{K}{m}} é a frequência 
natural da mola. Também temos que \gamma=\frac{b}{m}=1.

a) Sabemos nos estudos das oscilações amortecidas e forçadas que a amplitude é dada em função da frequência angular da oscilação é:

A^2(\omega)=\frac{F_0^2}{m^2[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2]}

Para baixas frequências, onde \omega \rightarrow 0:

\lim_{\omega \rightarrow 0}A(\omega)=\sqrt{\frac{F_0^2}{m^2\omega_0^4}}=\frac{F_0}{m\omega_0^2}

Sendo \omega_0=\sqrt{\frac{400}{1}}=20, a amplitude em baixas frequências será A(0)=\frac{20}{1\cdot 20}=1m

b) No regime de ressonância teremos \omega \rightarrow \omega_0:

A(\omega_0)=\frac{F_0}{m\gamma \omega_0}=\frac{20}{1\cdot 1 \cdot 20}=1m

c) A amplitude máxima que pode ocorrer neste tipo de oscilação acontecerá quando \omega = \omega_0. Dessa forma, o fator de ampliação entre a amplitude máxima e de frequência baixa é
\frac{A(\omega_0)}{A(0)}=\frac{\omega_0}{\gamma}=Q

Repare que essa razão é dada para quando temos uma frequência baixa, tal que \omega_0>>\omega. Então:

Q=\frac{\omega_0}{\gamma}=\frac{20}{1}=20

Lembre-se, também do seguinte gráfico:



Quanto menor a largura do pico de ressonância, maior será a amplitude de ressonância, e portanto maior será Q. Se \gamma=\Delta \omega

Então, quanto menor for \gamma, ou seja, menor constante de amortecimento, maior será o fator de qualidade.

Abraço!

Referências:
Curso de Física II - Moysés Nussenzveig

Valeu, esclareceu minha dúvida.