Dinâmica

Um ponto material de massa M está ligado a dois outros, cada um de massa m, por meio de fios que passam por pequenas polias A e B situadas no mesmo nível e à distância 2a uma da outra.

Inicialmente, M ocupa a posição O no meio entre A e B e está em repouso. Demonstre que, abandonado M, este atingirá sua posição extrema de repouso após ter percorrido a altura.

Olá amigo,

Veja a figura:



Tomando como nível de referência o horizonte em que as polias se encontram, temos que a energia total no início será de 

E_{antes} = -2mgh_0

Quando o bloco de massa M descer uma medida 'x', os fios sofreram um deslocamento dado pela diferença entre as distâncias de antes e depois do bloco de massa M e uma das polias, isto é, 
\sqrt{x^2+a^2} - a

Assim a nova altura dos blocos de massa m será:

y = h_0 - (\sqrt{x^2+a^2} - a)

Com isso a energia do sistema em um momento posterior será dada por:

E_{depois} = K_M + 2K_m - Mhx - 2mgy

Só que estamos interessados em um momento em que o bloco atinja uma distância extrema, que será encontrada quando a velocidade do bloco M for nula. Além disso, pelo vínculo geométrico de fios e polias entre os blocos, a velocidades dos dois blocos de massa 'm' também serão nulas, isto é, 
K_M=K_m = 0

Da conservação de energia:
-2mgh_0 = -Mgx - 2mg(h_0 - \sqrt{x^2+a^2} +a)
Mgx - 2mg\sqrt{x^2+a^2} +2mga=0

Desenvolvendo chegamos a :

x(4m^2x-M^2x-4Mma)=0

Veja que temos duas soluções x=0 e x=h. No entanto x=0 corresponde ao estado inicial do sistema e, então, podemos ignorá-la:

4m^2h-M^2h-4Mma=0
Que então resulta em:
h = \frac{4Mma}{4m^2-M^2}

Espero ter ajudado, abraço!

Obrigado pela resolução.Achei essa questão bem dificilzinha.