Unesp 2016 1ª fase - Questão de Permutação

Um torneio de futebol será disputado por 16 equipes que, ao final, serão classificadas do 1o ao 16o lugar. Para efeitos da classificação final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate. Considerando para os cálculos log15!=12 e log2=0,3, a ordem de grandeza do total de classificações possíveis das equipes nesse torneio é de:

(A) bilhões.
(B) quatrilhões.
(C) quintilhões.
(D) milhões.
(E) trilhões.

A alternativa correta é a letra E. Entretanto não entendi a relação do fatorial com o log, ou seja como 16! vira log16 e depois 16. Alguém poderia me ajudar?

O total de classificações possíveis é 16!
Queremos saber a ordem de grandeza desse número.
Escrever um número em ordem de grandeza é, basicamente, escrevê-lo como potência de 10, e observar o expoente.
Isto é
\\ 16! = 10^x \Rightarrow x = \log{16!} = \log{(16 \cdot 15!)} = \log{16} + \log{15!} = 4\log{2}+ \log{15!} =\\= 4 \cdot 0,3 + 12 = 12 + 1,2 = 13,2
Isto é:
16! = 10^{13,2}
Portanto a ordem de grandeza é de 10^13, ou seja, dezenas de trilhões. Como não tem essa opção, vai de "trilhões" mesmo.
Um raciocínio um pouco diferente, porém equivalente: partimos do logaritmo para darmos valor ao 16!, isto é
\\ \log{15!} = 12 \Rightarrow 15! = 10^{12}
\\ \log{16} = 4\log{2} = 4\cdot 0,3 = 1,2 \Rightarrow 16 = 10^{1,2}
Neste caso,
 \\ 16! = 16 \cdot 15! = 10^{1,2} \cdot 10^{12} \Rightarrow 16! = 10^{13,2}
Daí em diante o raciocínio é o mesmo.
Respondendo à sua dúvida: perceba que não se trata de uma "relação entre o fatorial e o log". Ocorre que o logaritmo é uma forma de informar o número, e que tem, sim, tudo a ver com a ideia de ordem de grandeza. Exemplo de outra situação em que isso ocorre: pH e pOH.

n = 16! ---> n = 16.15! ---> n = 2⁴.15!

Aplicando log nos dois membros

logn = log(2⁴.15!)

logn = log(2⁴) + log(15!)

logn = 4.log2 + log(15!)

logn = 4.0,3 + 12

logn = 1,2 + 12

n = 10^{1,2 + 12}

n = 10^1,2.10¹²

10^1,2 é um número de 2 algarismos na parte inteira

10¹² é o número 1 seguido de 12 zeros ---> Trilhão

Valeu pela ajuda de vocês! Fica bem mais fácil entender os assuntos com a ajude desse forúm!