Queda livre

por **LPavaNNN** Sáb 09 Jan 2016, 12:40

Determine o máximo valor de a, de tal modo que a esfera lançada de A, chegue ao seu máximo alcance horizontal; considere que a componente vertical da velocidade, quando a esfera está à mínima distância possível da parede inclinada seja v/2 (g=10m/s²)
Queda livre Ayk51e

Resposta: v²/4g

por **Carlos Adir** Sáb 09 Jan 2016, 15:34

Na menor distância da parede temos tan β = vy/vx. No caso do alcance máximo temos θ = 45° e como não há aceleração na horizontal, temos a velocidade horizontal como sempre: vx = v₀ . cos θ = (v√2).cosθ = v
Como dito no enunciado, temos neste momento que vy = v/2:

$\mathrm{tan \beta = \dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{\left(\dfrac{v}{2} \right )}{v}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \beta = \arctan \left(\dfrac{1}{2} \right )}$

Para isso, é necessário que a esfera não toque na parede

Queda livre 1JOg8W9

Podemos então saber o tempo com que chega nesta posição:
$\mathrm{v_y=v_0 \cdot sen \theta - gt \Rightarrow \left(v\sqrt{2} \right )\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}-g \cdot t=v-gt=\dfrac{v}{2} \Rightarrow t=\dfrac{v}{{\color{Red} 2}g}}$

Então:

$\\ \mathrm{tan \beta = \dfrac{y}{a+x}=\dfrac{v_0 \cdot sen \theta \cdot t - \dfrac{gt^2}{2}}{a+v_0 \cdot cos \theta \cdot t}=} \\ \mathrm{=\dfrac{vt - \dfrac{gt^2}{2}}{a+vt}=\dfrac{v \cdot \dfrac{v}{2g} - \dfrac{g}{2} \left(\dfrac{v}{2g} \right )^2}{a+v \cdot \dfrac{v}{2g}}=\dfrac{\dfrac{v^2}{2g}\cdot \dfrac{3}{4}}{a+\dfrac{v^2}{2g}}=\dfrac{1}{2}} \\ \boxed{\mathrm{a=\dfrac{v^2}{4g}}}$

Creio que não seja o máximo valor de a, mas sim o valor mínimo.