Unesp/2005

Considere um triângulo eqüilátero cuja medida do lado é 4 cm. Um segundo triângulo eqüilátero é construído, unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a

a) 16 cm. b) 18 cm. c) 20 cm. d) 24 cm. e) 32 cm.

Sei que se resolve por progressão geométrica, mas qual fórmula usar? Alguém sabe como resolver?  :study:

Considere um lado unitário, L=1. Como o triângulo seguinte é construído a partir dos pontos médios do anterior, cada lado do novo triângulo valerá 1/2. Então, considerando apenas um lado dessa sequência infinita de construções, temos que obedecem a uma PG decrescente com
primeiro termo: a1 = 1
razão: q = a2/a1 = (1/2)/1 = 1/2
E a soma de infinitas vezes um dos lados de cada triâng. é
S = a1/(1 - q) = 1/(1 - 1/2) -----> S = 2 cm

Mas calculamos a soma considerando o lado original como unitário e na verdade ele vale 4 cm. Ainda, calculamos a soma de apenas um dos lados e o perímetro do triângulo equilátero é 3×L. Fazendo as correções, temos
S' = 4×3×S = 4×3×2 -----> S' = 24 cm