É possível representar graficamente

É possível representar graficamente as razões trigonométricas de um triângulo retângulo partindo de um sistema de coordenadas no plano? Como?

"Yes, we can" - Sim, nós podemos.

Vamos lá:



Seja AC a hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio 1.
Seja DAC= α

sen α = Cateto Oposto/ Hipotenusa

sen α = CD (vermelho)/AC

mas AC=1

sen α =CD

cos α = Cateto Adjacente/ Hipotenusa

cos α = AD (verde)/AC

cos α =AD

Façamos agora uma reta paralela ao eixo y em x=1



Tracando-se o prolongamento de α, encontramos a reta em E. Seja F o ponto (1,0)

O triângulo EAF é semelhante ao triângulo CAD

EF está para CD assim como 1 está para AD

EF/CD = 1/AD

EF=CD/AD

EF=senα/cosα

EF= tgα


A cotangente é exatamente análogo, mas com a reta paralela a x em y=1


AHG é semelhante a ADC

(HGA é alterno interno com GAD)

CD está para 1 assim como AD está para GH
CD= AD/GH

GH=AD/CD

GH= cos α/sen α

GH = cotg α



Sec e cossec assim como a tangente e cotangente tem a mesma demonstração.

Vou fazer apenas a da cossecante:

Trace uma reta tangente ao ponto C.



CAF é complementar de α

ACF é 90º

Logo: AFC=α

CFA é semelhante a ACD

CD está para AC=1

Assim como AC=1 está para AF

CD=1/AF

AF=1/senα

AF=cossec α