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por acisif2 Qua 01 Jul 2015, 10:58

Exprimir 2x +3 na forma (x+a)² - (x - b)²

Grato!

por **Carlos Adir** Qua 01 Jul 2015, 11:30

$\\ \mathrm{(x+a)^2-(x-b)^2=(x^2+2ax+a^2)-(x^2-2xb+b^2)= 2x (a+b)+(a^2-b^2)}$
Como temos que a expressão é equivalente a 2x+3:
$\\ \mathrm{{\color{Red} 2x (a+b)}+{\color{Blue} (a^2-b^2)}={\color{Red} 2x}+{\color{Blue} 3}} \\ \begin{cases}\mathrm{ 2x(a+b)=2x} \\ \mathrm{a^2-b^2 = 3} \end{cases} \\ \mathrm{Resolvendo \ o \ sistema \ encontramos:} \\ \mathrm{a+b=1 \Leftrightarrow a-b=3} \\ \mathrm{\Rightarrow a=2, \ b=-1}$

Outra coisa interessante notar, é fatorar:
$\\ \mathrm{2x(a+b)+(a^2-b^2)=2x+3} \\ \mathrm{2x(a+b)+(a+b)(a-b)=2x+3} \\ \mathrm{{\color{Red} \left(a+b \right )} \left[2x+{\color{Blue} (a-b)} \right ]={\color{Red} 1} \cdot \left(2x+{\color{Blue} 3} \right )}$

E encontramos a resposta:
$\mathrm{(x+2)^2-(x+1)^2=2x+3}$

por acisif2 Qua 01 Jul 2015, 11:33

Obrigado, Carlos.

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