Números Complexos III

por Thiago Casanova 30/6/2015, 5:31 pm

Qual a condição para que o número (a+bi)^4 ,a e b reais, seja estritamente negativo?

Gabarito: a.b $Números Complexos III Bd0d5f08997b7a4ad8598963f7e50231$ 0 e a= +- b

por **Carlos Adir** 30/6/2015, 5:45 pm

$\\ \mathrm{z=a+bi = \sqrt{a^2+b^2} \left(cos \ \theta +i \cdot sen \ \theta\right )} \\ \mathrm{z^4 = \left(\sqrt{a^2+b^2} \right )^4 \left(cos \ 4\theta + i \cdot sen \ 4 \theta \right )} \\ \mathrm{z^4 = \left(a^2+b^2 \right )^2 \left(cos \ 4\theta + i \cdot sen \ 4\theta \right )}$
Se queremos que seja estritamente negativo, então o número deve ser real, e sua parte real deve ser negativa. Deste modo:
$\\ \mathrm{cos \ 4 \theta = -1} \\ \mathrm{4 \theta = \pi + 2k\pi} \\ \mathrm{\theta = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}; \ \ k \in \mathbb{Z}}$
E sendo theta = arctan(b/a), então:
$\\ \mathrm{tan \ \theta = tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} \right )} \\ \mathrm{ \dfrac{b}{a} = tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} \right )= \pm 1} \\ \mathrm{b = \pm a}$
E como não existe divisão por 0, então a≠0, e se b=0, teremos que a=0, o que é impossivel.
Logo, nenhum deles deve ser zero, e então o produto deve ser diferente de zero: ab ≠ 0

por Thiago Casanova 30/6/2015, 5:51 pm

O massa q o Fundamentos da Matemática Elementar q tem essa questão ainda chegou na parte q me ensina essa expressão kkkkkk, ai foi q nem o outro post q respondesse que tbm usasse a mesma expressão pra resolver Razz

E como faz tempo q vi complexos é quase a mesma coisa q ta zerado no assunto..., ai fiquei viajando.

por **Elcioschin** 30/6/2015, 6:11 pm

Então veja outra solução que não envolve a fórmula trigonométrica

(a + bi)⁴ = a⁴+ 4.a³.b.i + 6.a².b².i² + 4.a.b³.i³ + b⁴

(a + bi)⁴ = a⁴+ 4.a³.b.i - 6.a².b² - 4.a.b³ + b⁴

(a + bi)⁴ = a⁴ + b⁴ - 6.a².b² + 4.a.b.(a² - b²).i

Parte imaginária nula ---> Temos duas possibilidades:

1) a.b = 0 ---> não serve porque:

1.a) Se b = 0 a parte imaginária b.i é nula e a parte real a⁴ é positiva
1.b) Se a = 0 a parte real (a) é nula e (bi)⁴ também é real e positiva

Logo a ≠ b ≠ 0

2) a² - b² = 0 ---> a = ± b