Usando o teorema de Stokes.

por XxWillXxPEL Ter 16 Jun 2015, 22:47

Calcule a integral de linha F.Dr onde F = -y^2i+xj+x^2k e C é a curva intersecção do plano y + z = 2 com o cilíndro x^2+y^2=1. A Orientação de C é no sentido anti-horário quando visto de cima para baixo.

Como ficaria pelos dois métodos?

por **mauk03** Qui 18 Jun 2015, 04:01

Parametrizando a curva C:
$\left\{\begin{matrix} x=\cos t\\ y=\sin t\\ z=2-\sin t \end{matrix}\right.$

$0\leq t\leq 2\pi$

Assim:
$\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oint_{C}(-y^{2},x,x^{2})\cdot (dx,dy,dz)=\oint_{C}\left (-y^{2}\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+x^{2}\frac{dz}{dt} \right )dt$ $=\int_{0}^{2\pi }\left (-\sin ^{2}(t)(-\sin (t))+\cos (t)(\cos (t))+\cos ^{2}(t)(-\cos (t)) \right )dt$ $=\int_{0}^{2\pi }(\sin ^{3}(t)+\cos ^{2}(t)-\cos ^{3}(t))dt$ $=\left [ \frac{t}{2}-\frac{3\sin (t)}{4}+\frac{\sin (2t)}{4}-\frac{\sin (3t)}{12}-\frac{3\cos (t)}{4}+\frac{\cos (3t)}{12} \right ]_{0}^{2\pi }=\pi$

por **mauk03** Qui 18 Jun 2015, 04:05

Para calcular usando o teorema de Stokes é feito de maneira análoga ao exemplo 14 (página 11) desse PDF:
http://pascal.iseg.utl.pt/~mguerra/am3/docs/tgs.pdf