Área de retângulo e soma dos segmentos

Na figura, o quadrilátero de maior perímetro é um retângulo cuja base mede 4cm e cuja altura mede 3 cm. Os pontos médios dos lados do retângulo determinam um losango. Os pontos médios dos lados do losango determinam um retângulo.



1. A soma das áreas de todos os retângulos é:

2. A soma das medidas de todos os seguimentos de reta é:


Gab 1. 16cm²; 2. 48cm.

1. A soma das áreas de todos os retângulos é:
Faz por soma da PG infinita de razão 1/4
S=12/(1-1/4)
S=12/(3/4)
S=48/3=16

2. A soma das medidas de todos os seguimentos de reta é:
Somando perímetro do retângulo com perímetro do losangulo acha-se 24 cm

A razão fica 1/2 para infinitos perímetros de ambos

2p=24/(1-1/2)
2p=48

cvieira10 escreveu:Na figura, o quadrilátero de maior perímetro é um retângulo cuja base mede 4cm e cuja altura mede 3 cm. Os pontos médios dos lados do retângulo determinam um losango. Os pontos médios dos lados do losango determinam um retângulo.



1. A soma das áreas de todos os retângulos é:

2. A soma das medidas de todos os seguimentos de reta é:


Gab 1. 16cm²; 2. 48cm.

Boa noite,

72)

Áreas das figuras:
4 * 3 = 12 cm
2 * 1,5 = 3 cm
1 * 0,75 = 0,75 cm

Observando-se a sequência das áreas, percebemos que formam uma PG de razão igual a 1/4.
Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita:
S = a1/(1 - q)
S = 12/(1 - 1/4) = 12/(3/4) = 12 * 4/3 = 48/3
S = 16 cm


73)

Na figura encontramos os seguintes perímetros:
14.....10.....7.....5.....3,5.....2,5.....etc
.Q.......L.....Q.....L......Q.......L.......etc

onde:
Q = quadrado
L = losango

Separando os tipos de figuras, vem:
Q = 14, 7, 3,5, ... etc
L = 10, 5, 2,5, .... etc

Ambas as séries acima são PG's de razão igual a 1/2, e a1 igual a 14 e 10 respectivamente.
Portanto, fica:
S[Q] = 14/(1 - 1/2) = 14/(1/2) = 14*2 = 28 cm
S[L] = 10/(1 - 1/2) = 10/(1/2) = 10*2 = 20 cm

S[Q] + S[L] = 28 cm + 20 cm
S[Q] + S[L] = 48 cm




Um abraço.

ivomilton escreveu:

cvieira10 escreveu:Na figura, o quadrilátero de maior perímetro é um retângulo cuja base mede 4cm e cuja altura mede 3 cm. Os pontos médios dos lados do retângulo determinam um losango. Os pontos médios dos lados do losango determinam um retângulo.



1. A soma das áreas de todos os retângulos é:

2. A soma das medidas de todos os seguimentos de reta é:


Gab 1. 16cm²; 2. 48cm.

Boa noite,

72)

Áreas das figuras:
4 * 3 = 12 cm
2 * 1,5 = 3 cm
1 * 0,75 = 0,75 cm

Observando-se a sequência das áreas, percebemos que formam uma PG de razão igual a 1/4.
Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita:
S = a1/(1 - q)
S = 12/(1 - 1/4) = 12/(3/4) = 12 * 4/3 = 48/3
S = 16 cm


73)

Na figura encontramos os seguintes perímetros:
14.....10.....7.....5.....3,5.....2,5.....etc
.Q.......L.....Q.....L......Q.......L.......etc

onde:
Q = quadrado
L = losango

Separando os tipos de figuras, vem:
Q = 14, 7, 3,5, ... etc
L = 10, 5, 2,5, .... etc

Ambas as séries acima são PG's de razão igual a 1/2, e a1 igual a 14 e 10 respectivamente.
Portanto, fica:
S[Q] = 14/(1 - 1/2) = 14/(1/2) = 14*2 = 28 cm
S[L] = 10/(1 - 1/2) = 10/(1/2) = 10*2 = 20 cm

S[Q] + S[L] = 28 cm + 20 cm
S[Q] + S[L] = 48 cm




Um abraço.

Por favor, seria possível me explicar como chegar a medida das áreas? Não entendi muito a relação usada para que se tenha a segunda área do retângulo.

Basta olhar a figura:

O retângulo maior (1º retângulo) tem lados 4 e 3 ---> S1 = 12

O 2º retângulo tem lados 2 e 1,5 ---> S2 = 3

Assim, a razão entre o 2º e o 1º retângulo vale q = S2/S1 ---> q = 3/12 ---> q = 1/4

Cada retângulo terá uma área 4 vezes menor que o anterior.
Isto significa uma Progressão Geométrica decrescente infinita
A soma das áreas de todos os retângulos vale:

S = S1/(1 - q) ---> S = 12/(1 - 1/4) ---> S = 12/(3/4) ---> S = 12.4/3 ---> S = 16

Elcioschin escreveu:Basta olhar a figura:

O retângulo maior (1º retângulo) tem lados 4 e 3 ---> S1 = 12

O 2º retângulo tem lados 2 e 1,5 ---> S2 = 3

Assim, a razão entre o 2º e o 1º retângulo vale q = S2/S1 ---> q = 3/12 ---> q = 1/4

Cada retângulo terá uma área 4 vezes menor que o anterior.
Isto significa uma Progressão Geométrica decrescente infinita
A soma das áreas de todos os retângulos vale:

S = S1/(1 - q) ---> S = 12/(1 - 1/4) ---> S = 12/(3/4) ---> S = 12.4/3 ---> S = 16

Desculpe a minha ignorância, mas ainda não consegui descobrir o porquê das dimensões do 2º retângulo serem 2 e 1,5! Há como demonstrar matematicamente isso ou é só pelo "olhômetro"?

Boa tarde, jjcabral.

Clique no link abaixo e observe a figura de um losango inscrito em um retângulo (figura branca dentro de um campo todo preto):

https://www.google.com.br/search?q=figuras+de+losangos+inscritos+em+ret%C3%A2ngulos&biw=1333&bih=636&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0CCcQ7AlqFQoTCJHq6tXM4McCFckMkAodPiQLvw#tbm=isch&q=losangos+inscritos+em+ret%C3%A2ngulos&imgrc=axDpNKdJ-7bf2M%3A


Temos aí um losango ABCD inscrito em um retângulo EFGH.
Marque ponto médio de BC e identifique-o pela letra P.
Marque ponto médio de AB e identifique-o pela letra Q.
Ligue os pontos P e Q com um segmento de reta.
Vamos provar, então, que PQ = (EF/2), ou seja, que o lado PQ do segundo retângulo é igual à metade do lado EF do primeiro retângulo (aquele maior, de medias 4*3):
Do ponto P, levante uma perpendicular até EF, identificando o encontro pela letra M.
Do ponto Q, levante outra perpendicular até EF, identificando o encontro pela letra N.
Como PB=BC/2, também MB=FB/2, porque os triângulos retângulos BFC e BMP são semelhantes.
O mesmo acontece com QB=AB/2, pois também NB=BE/2, pelo motivo de os triângulos retângulos BEA e BNQ serem igualmente semelhantes entre si.
Assim, como os lados do segundo retângulo medem metade dos lados do primeiro retângulo (4*3), a área do segundo retângulo deverá medir: (4/2)*(3/2) ou seja, 2*1,5 = 3 cm².
----------------------------------------------------------------------
Observação: Em minha resolução, onde está escrito:
Áreas das figuras:
4 * 3 = 12 cm
2 * 1,5 = 3 cm
1 * 0,75 = 0,75 cm

As medidas das áreas são em cm², ou seja:

Áreas das figuras:
4 * 3 = 12 cm²
2 * 1,5 = 3 cm²
1 * 0,75 = 0,75 cm²

Espero tê-lo esclarecido.





Um abraço.

jjcabral

Quando eu disse que bastava olhar, eu não disse que era para fazer no olhômetro. Eu quis dizer para você raciocinar com base no que você via:

'Olhando", percebe-se que os vértices dos losangos são os pontos MÉDIOS dos lados do retângulo.

O mesmo acontece com os retângulos: seus vértices são os pontos MÉDIOS dos lados dos losangos

Se são pontos MÉDIOS, cada figura tem lados iguais à METADE dos lado das figuras anteriores.

A demonstração disto consta dos conceitos básicos da geometria, principalmente na semelhança de figuras, matéria do Ensino Fundamental. E, como você estuda no Ensino Médio, imaginei que dominasse o assunto e não era preciso eu explicar.

ivomilton escreveu:Boa tarde, jjcabral.

Clique no link abaixo e observe a figura de um losango inscrito em um retângulo (figura branca dentro de um campo todo preto):


Temos aí um losango ABCD inscrito em um retângulo EFGH.
Marque ponto médio de BC e identifique-o pela letra P.
Marque ponto médio de AB e identifique-o pela letra Q.
Ligue os pontos P e Q com um segmento de reta.
Vamos provar, então, que PQ = (EF/2), ou seja, que o lado PQ do segundo retângulo é igual à metade do lado EF do primeiro retângulo (aquele maior, de medias 4*3):
Do ponto P, levante uma perpendicular até EF, identificando o encontro pela letra M.
Do ponto Q, levante outra perpendicular até EF, identificando o encontro pela letra N.
Como PB=BC/2, também MB=FB/2, porque os triângulos retângulos BFC e BMP são semelhantes.
O mesmo acontece com QB=AB/2, pois também NB=BE/2, pelo motivo de os triângulos retângulos BEA e BNQ serem igualmente semelhantes entre si.
Assim, como os lados do segundo retângulo medem metade dos lados do primeiro retângulo (4*3), a área do segundo retângulo deverá medir: (4/2)*(3/2) ou seja, 2*1,5 = 3 cm².
----------------------------------------------------------------------
Observação: Em minha resolução, onde está escrito:
Áreas das figuras:
4 * 3 = 12 cm
2 * 1,5 = 3 cm
1 * 0,75 = 0,75 cm

As medidas das áreas são em cm², ou seja:

Áreas das figuras:
4 * 3 = 12 cm²
2 * 1,5 = 3 cm²
1 * 0,75 = 0,75 cm²

Espero tê-lo esclarecido.





Um abraço.

Muito obrigado pela demonstração (e paciência), Ivomilton! Eu cheguei a dividir o segundo losango em dois triângulos congruentes mas não consegui associá-los a medida do retângulo menor. Obrigado novamente!