(UFOP-MG–2008) Se tg x = a, π 2 < x < p, é C

por cassiobezelga Seg 11 maio 2015, 15:53

(UFOP-MG–2008) Se tg x = a, PI/2
< x < pI, é CoRRETo
afirmar que sen (x) + cos (x) vale

O GABARITO DA

(-1-A)/RAIZ DE (1 MAIS A^2)

por **Carlos Adir** Seg 11 maio 2015, 17:39

$\\ \mathrm{tan \ x = a} \\ \\ \mathrm{\dfrac{\pi}{2} < x < \pi}$
Assim, como a tangente está entre pi/2 e pi, então a tangente está no segundo quadrante, e então:
$\\ \mathrm{tan \ x < 0 \Rightarrow a<0} \\ \mathrm{sen \ x >0, \ cos \ x <0}$

Assim, temos:
$\\ \mathrm{a = tan \ x = \dfrac{sen \ x}{cos \ x} \Rightarrow }\boxed{\mathrm{sen \ x = a \cdot cos \ x}}$
Temos esta primeira relação, do seno em função do cosseno. Agora, partindo disto temos:
$\\ \mathrm{sen \ x = a \cdot cos \x \Rightarrow sen^2 \ x = a^2 \cdot cos^2 \ x \Rightarrow } \\ \mathrm{\Rightarrow (1-cos^2 \ x)=a^2 \cdot cos^2 \ x \Rightarrow 1=cos^2 \ x (1+a^2)} \\ \mathrm{\Rightarrow cos^2 \ x =\dfrac{1}{1+a^2} \Rightarrow cos \ x = \dfrac{-1}{\sqrt{1+a^2}}}$

Assim temos a soma:
$\\ \mathrm{sen \ x + cos \ x = a \cdot cos \ x + cos \ x =} \\ \mathrm{= (a+1)\cdot cos \ x = (a+1)\left(\dfrac{-1}{\sqrt{1+a^2}} \right ) =} \\ \mathrm{=\dfrac{-(1+a)}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{-1-a}{\sqrt{1+a^2}}}$

Portanto:
$\\ \begin{cases}\mathrm{tan \ x = a} \\ \mathrm{\frac{\pi}{2}<x<\pi} \end{cases} \Rightarrow \mathrm{sen \ x + cos \ x =\dfrac{-1-a}{\sqrt{1+a^2}}}$

por cassiobezelga Seg 11 maio 2015, 18:47

Penso eu q estava errando por causa dessa parte

POR QUE NÃO PODERIA SER LETRA B?
https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\\&space;\mathrm{sen&space;\&space;x&space;=&space;a&space;\cdot&space;cos&space;\x&space;\Rightarrow&space;sen^2&space;\&space;x&space;=&space;a^2&space;\cdot&space;cos^2&space;\&space;x&space;\Rightarrow&space;}&space;\\&space;\mathrm{\Rightarrow&space;(1-cos^2&space;\&space;x)=a^2&space;\cdot&space;cos^2&space;\&space;x&space;\Rightarrow&space;1=cos^2&space;\&space;x&space;(1+a^2)}&space;\\&space;\mathrm{\Rightarrow&space;cos^2&space;\&space;x&space;=\dfrac{1}{1+a^2}&space;\Rightarrow&space;cos&space;\&space;x&space;=&space;\dfrac{-1}{\sqrt{1+a^2}}}

Eu não avia pensado nesse negativo após sair da raiz quadrada. O meu estava dando letra b

(UFOP-MG–2008) Se tg x = a, π 2 < x < p, é C Ana

[img=https://2img.net/h/s14.postimg.cc/r1hf9t269/ana.jpg]
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Por que não poderia ser letra B?

por **Carlos Adir** Seg 11 maio 2015, 19:38

Veja que não pode ser a letra B, pois o que difere da que encontramos é simplesmente um menos:
$\dfrac{{\color{Red} -}(1+a)}{\sqrt{1+a^2}}$

A questão é que, na passagem abaixo temos:
$\\ \mathrm{cos^2 \ x = \dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}} \Rightarrow cos \ x = \pm \sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}}= \dfrac{\pm 1}{\sqrt{1+a^2}}}$
Mas temos no inicio que cosseno é negativo(x está entre pi/2 e pi). E então, cos x < 0.
Como uma raiz(a parte de baixo) é sempre positiva, então temos o resultado do cosseno:
$\\ \boxed{\mathrm{cos \ x = \dfrac{-1}{\sqrt{1+a^2}}}}$

O sinal de menos(negativo) vem do cosseno.

Se quiseres verificar, temos que, se a=-√3, então:
$\\ \mathrm{tan \ x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3}} \\ \mathrm{sen \left(\dfrac{2\pi}{3} \right )+cos \left(\dfrac{2\pi}{3} \right )=\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(\dfrac{-1}{2} \right )=\dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}}$

Agora, se formos utilizar a letra B:
$\\ \mathrm{\dfrac{1+a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{1 + (-\sqrt{3})}{\sqrt{1+\left(-\sqrt{3} \right )^2}}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \ne \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}}$
Enquanto se formos utilizar em A:
$\\ \mathrm{\dfrac{-(1+a)}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{-[1 + (-\sqrt{3})]}{\sqrt{1+\left(-\sqrt{3} \right )^2}}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}}$

por Liliana Rodrigues Seg 15 maio 2017, 10:32

Carlos Adir escreveu: $\\ \mathrm{tan \ x = a} \\ \\ \mathrm{\dfrac{\pi}{2} < x < \pi}$
Assim, como a tangente está entre pi/2 e pi, então a tangente está no segundo quadrante, e então:
$\\ \mathrm{tan \ x < 0 \Rightarrow a<0} \\ \mathrm{sen \ x >0, \ cos \ x <0}$

Assim, temos:
$\\ \mathrm{a = tan \ x = \dfrac{sen \ x}{cos \ x} \Rightarrow }\boxed{\mathrm{sen \ x = a \cdot cos \ x}}$
Temos esta primeira relação, do seno em função do cosseno. Agora, partindo disto temos:
$\\ \mathrm{sen \ x = a \cdot cos \x \Rightarrow sen^2 \ x = a^2 \cdot cos^2 \ x \Rightarrow } \\ \mathrm{\Rightarrow (1-cos^2 \ x)=a^2 \cdot cos^2 \ x \Rightarrow 1=cos^2 \ x (1+a^2)} \\ \mathrm{\Rightarrow cos^2 \ x =\dfrac{1}{1+a^2} \Rightarrow cos \ x = \dfrac{-1}{\sqrt{1+a^2}}}$

Assim temos a soma:
$\\ \mathrm{sen \ x + cos \ x = a \cdot cos \ x + cos \ x =} \\ \mathrm{= (a+1)\cdot cos \ x = (a+1)\left(\dfrac{-1}{\sqrt{1+a^2}} \right ) =} \\ \mathrm{=\dfrac{-(1+a)}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{-1-a}{\sqrt{1+a^2}}}$

Portanto:
$\\ \begin{cases}\mathrm{tan \ x = a} \\ \mathrm{\frac{\pi}{2}<x<\pi} \end{cases} \Rightarrow \mathrm{sen \ x + cos \ x =\dfrac{-1-a}{\sqrt{1+a^2}}}$

Alguém pode me falar o que foi feito após chegar em cosx(a + 1) ??
Depois do "Agora, partindo disto temos:" está escrito "Invalid Equation"

por Liliana Rodrigues Qua 17 maio 2017, 11:31

por **Elcioschin** Qua 17 maio 2017, 12:39

(senx)² + (cosx)² = 1

(a.cosx)² + (cosx)² = 1

a².cos²x + cos²x = 1

(a² + 1).cos²x = 1

cos²x = 1/(a² + 1) ---> cosx = - 1/√(a² + 1) ---> sinal negativo pois é no 2º quadrante