Pêndulo Simples

Um pêndulo simples é conectado a duas molas idênticas, inicialmente sem deformação, conforme a
figura. Sabendo que a uma distância L abaixo da carga Q, se encontra uma carga fixa de mesmo módulo e sinal
oposto –Q, determine, em função da constante elástica k, da massa m, da carga Q do objeto, da aceleração da
gravidade g e do comprimento do pêndulo L, o período do movimento. Utilize aproximação para pequenos
deslocamentos.

Spoiler:

Resolvi de duas formas essa questão e ambas conduzem à uma mesma resposta que não possui correspondência com as alternativas fornecidas.

a=\frac{2KL}{m} \ \ (I)

a'=\frac{1}{4\pi\epsilon_{o}}\frac{Q^2}{mL^2} \ \ \ (II)


De (I) e (II):



Assim:

Obrigado pela resolução, mas tenho uma dúvida em (I): de que modo você inseriu L em função de a?

É como se o pêndulo oscilasse como uma aceleração efetiva onde, cada força atuante contribua com uma parcela e a deformação da mola seja proporcional ao comprimento do fio.

Como eu havia dito, há uma outra forma de resolução onde uma abordagem geométrica é considerada e o resultado obtido é o mesmo. É o seguinte:

Considere que, durante uma oscilação, o pêndulo produza um pequeno ângulo \theta com a normal.
Nesse instante, surge também uma força restauradora, F_{r}, agindo sobre o movimento pendular.


Dessa forma, ao construir geometricamente o problema, nota-se que um triângulo isósceles (pois o ângulo de oscilação é pequeno, então os lados tem um valor aproximado L ) é formado com vértices na extremidade do fio superior, na esfera de massa intermediária e na esfera inferior.

Decompondo as forças que compõe os lados desse triângulo, obtemos:




Da geometria do problema,



Além disso:



(II),(III), (IV) \ \ \text{em} \ \ (I)




Assim:


Do movimento harmônico simples:


Fazendo a substituição:



*Obs: Questão interessante, de onde é esse problema?

Muito Obrigado, agora entendi 
Acho que foi erro de quem digitou (não é raro!)

Esta questão vem de um simulado do ITA/IME no Sistema zeus: Link do Simulado (Questão 29).