Número de soluções inteiras

por **rodrigoneves** Dom 12 Abr 2015, 21:51

Quantas soluções inteiras tem a equação: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20 se tivermos x_i \geqslant 3 \, \forall i \in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}?

gabarito:

por **Ashitaka** Dom 12 Abr 2015, 23:37

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5

9!/(5!4!) = 126.

por **rodrigoneves** Ter 14 Abr 2015, 20:44

Obrigado!

por Matheus Fillipe Ter 14 Abr 2015, 21:38

Porque o número de soluções inteiras da equação de cima é o mesmo da outra?

por Matheus Fillipe Sáb 18 Abr 2015, 17:10

Então pessoal, devo não ter sido claro. Porque :

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5

tem o mesmo número de soluções que:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20

com a condição de cada variável ser maior que 3

por **Ashitaka** Sáb 18 Abr 2015, 17:21

Inicialmente o enunciado exige que haja pelo menos 3 unidades em cada x. Faça então a transformação:
x ----> x + 3
para cada xi, e como há 5 x, ficará
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + 3*5 = 20
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5
Agora basta resolver normalmente seguindo o esquema bola-traço; qualquer x agora pode ser 0, de forma usual, uma vez que já está garantido que há pelo menos 3 unidades de cada espécie.