Esferas

Duas esferas tangentes entre si tangenciam internamente uma outra esfera. Sendo 10 cm o diâmetro da esfera maior, determine a relação entre os volumes das esferas tangentes internamente, sabendo que sua soma é 2/3 do volume da esfera maior.

gabarito:

comentário:

Sabe-se que o volume da esfera é dado por: 4/3 Pi.R³. E que a soma dos volumes das duas esferas menores é igual a 2/3 da maior:. 4/3 piR³ 2/3 = 4/3 pi(r1)³ + 4/3pi(r2)³ ===> simplificando por 4/3 pi ===> 2R³/3 = (r1)³ + (r2)³.
Sabe-se também que a soma dos dois diâmetros é igual a 10, então a soma dos raios deve ser igual a 5, então se r1= x, r2= 5-x.
Substituindo na equação acima: 2.5³/3 = x³ + (5-x)³=> desenvolvendo e isolando==> 9x² - 45x+25 = 0, o que realmente dá valores distintos pois 5/2 não é raiz.
Provavelmente esta questão tem algum erro de digitação. E se fizer a prova para que os raios sejam iguais, a soma dos volumes deveria ser igual a 1/4 da esfera maior.
 
Espero ter ajudado!

Rodrigo, discordo do gabarito pois se os volumes das esferas (internas) for igual, seu raio será igual à metade do raio da maior; isto implica que a soma dos volumes será apenas 1/4 do volume da maior e o enunciado exige 2/3.

Muito obrigado aos dois pela ajuda! Eu havia chegado à mesma resposta que o Medeiros, mas em vez de fatorar eu usei o cubo da soma. A questão é do Fundamentos, volume 10.
obs: se essa resposta aparecer duas vezes, me perdoem, a culpa é da minha internet móvel.