No plano cartesiano, os comprimentos

por OliviaTate Seg 06 Abr 2015, 00:35

No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem O e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA=1, a abscissax do ponto B=(x,y) vale:
No plano cartesiano, os comprimentos Fd8tn9

No plano cartesiano, os comprimentos Fd8tn9

Gabarito: D

por **Mimetist** Seg 06 Abr 2015, 01:48

Se nomear sucessivamente os lados do polígono obterá lados de comprimentos:

1, p, p^2,..., p^{15} .

Note que os comprimentos horizontais possuem lados que formam uma progressão geométrica de razão p^2 e que o ponto A \ = \ A(1,0)

Observe também que a abscissa do ponto B=B(x,y) corresponde à diferença entre o comprimento dos respectivos segmentos horizontais inferiores e superiores, assim:

x=\Big(1-p^2+p^4-p^6+p^8-p^{10}+p^{12}-p^{14}\Big)

Essa expressão corresponde à soma de uma progressão geométrica de razão -p^2, portanto:

x=\frac{(-p^2)^8-1}{-p^2-1}=-\frac{p^{16}-1}{p^2+1} \ \ \therefore \ \ \boxed{x=\frac{1-p^{16}}{1+p^2}}

por Matheus Filipe Ter 18 Jun 2019, 11:10

Poderia me explicar por que a soma de PG infinita não pode ser aplicada nesse exercício, sendo ela valida para uma PG decrescente, com razão entre 0 e 1, como é o caso.