Produto de 3 fatores

por **Ashitaka** Sex 13 Fev 2015, 12:35

Considere o polinômio ax³ + bx² + bx + a, com a e b E R^*₊. Assinale a alternative que representa os valores de b em função de a tais que este polinômio possa ser efatorado num produto de 3 fatores polinomiais com coeficientes reais.
a) ]a/2; a[
b) ]a; 3a[
c) ]0; 3a[
d) ]0; a[
e) [3a; +oo[

por **Robson Jr.** Sex 13 Fev 2015, 18:00

Convém buscar uma teoria de resolução de equações recíprocas. No entanto, para este problema, podemos caminhar simplesmente fatorando.

$\small P(x)=ax^3+a+bx^2+bx=a(x^3+1)+bx(x+1) \\ \therefore \ \ P(x)=a(x+1)(x^2-x+1)+bx(x+1)=(x+1)(ax^2-ax+a+bx) \\ \therefore \ \ P(x)=(x+1)(ax^2+(b-a)x+a)$

Basta, agora, que o fator do segundo grau tenha raízes reais. Como a e b são positivos:

$\small \Delta=(b-a)^2-4a^2 \geq 0 \ \therefore \ b-a \geq 2a \ \therefore \ b \geq 3a \Rightarrow \boxed{b\in [3a; +\infty [}$

por **Ashitaka** Sex 13 Fev 2015, 18:44

Por que o fator do segundo grau tem que ter raízes reais?

por **Robson Jr.** Sex 13 Fev 2015, 18:52

Porque, senão, os consequentes fatores do primeiro grau serão da forma (x - complexo), o que viola o enunciado.

por **Ashitaka** Sex 13 Fev 2015, 19:20

Mas se fosse (x - complexo), com a e b reais, o conjulgado * desse complexo também seria raiz, de forma que os coeficientes a e b originais permaneceriam reais.
(x-z)(x-z*) = x² - x(z+z*) + zz* ---> coeficientes reais.
Quando temos por ex:
(ax-b)(cx-d)(ex-f)
a, b, c, d, e, f são considerados coeficientes, então? É a única explicação que eu vejo para não poder ter complexo.

por **Robson Jr.** Sex 13 Fev 2015, 19:38

Ashitaka escreveu:Mas se fosse (x - complexo), com a e b reais, o conjulgado * desse complexo também seria raiz, de forma que os coeficientes a e b originais permaneceriam reais.
(x-z)(x-z*) = x² - x(z+z*) + zz* ---> coeficientes reais.
Quando temos por ex:
(ax-b)(cx-d)(ex-f)
a, b, c, d, e, f são considerados coeficientes, então? É a única explicação que eu vejo para não poder ter complexo.

Ashitaka, a parte em preto, embora correta, não se aplica ao problema. O enunciado pede que os fatores do polinômio tenham coeficientes reais. O que isso quer dizer? Você mesmo explicou na parte em vermelho.

por **Ashitaka** Sex 13 Fev 2015, 20:05

Ah, eu não sabia que a, b, c, d, e, f eram chamados coeficientes quando daquela forma. Achei que coeficientes era só na forma expandida do polinômio...