Máximo produto de três fatores

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Mensagem por Elcioschin em Seg 17 Jan 2011, 09:09

Este é um pouco mais complicado de provar do que o anterior (Máximo produto de dois fatores)

Quais as três partes em que um número N deve ser decomposto, a fim de que o produto das três partes seja máximo?
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Mensagem por ivomilton em Seg 17 Jan 2011, 10:23

@Elcioschin escreveu:Este é um pouco mais complicado de provar do que o anterior (Máximo produto de dois fatores)

Quais as três partes em que um número N deve ser decomposto, a fim de que o produto das três partes seja máximo?

Boa tarde, Elcio!

Em relação ao divisor 3, N poderá se múltiplo de 3, ou múltiplo de 3, menos 1, ou múltiplo de 3, mais 1.

Com relação ao produto máximo das três partes, dependendo do formato de N, teremos:
N=3k, obviamente as partes serão N/3 * N/3 * N/3;
N=3k-1, teremos dois fatores iguais a "k" e o outro fator uma unidade abaixo de "k"
N=3k+1, teremos dois fatores iguais a "k" e o outro fator uma unidade acima de "k"

Colocarei, abaixo, o que considero seja a solução desta questão:

Formato de N ....................................... 3k-1 ............. 3k ............. 3k+1
Partição com maior produto ............... k-1 . k . k ......... k.k.k ........ k . k . k+1

Exemplos numéricos:

k=3

N-1, N, N+1 .......................................... 8 ................ 9 ................ 10
Partições com os maiores produtos ........ 2.3.3 ........... 3.3.3 ............ 3.3.4
Produtos .............................................. 18 .............. 27 ................ 36

k=4

N-1, N, N+1 ......................................... 11 .............. 12 ................ 13
Partições com os maiores produtos ........ 3.4.4 ........... 4.4.4 ............ 4.4.5
Produtos .............................................. 48 .............. 64 ................ 80






Receba, do Senhor Jesus, uma semana abençoada!


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Mensagem por Elcioschin em Seg 17 Jan 2011, 16:48

Ivomilton

A sua solução está correta, porém abrange um caso particular em que N é inteiro.
Na verdade, no meu enunciado N pode ser qualquer valor real positivo.
Aí a coisa fica complicada para demonstrar.
Vou aguardar um pouco mais, para ver se outros usuários se manifestam e tentam demonstrar.
Caso não haja respostas, publicarei a solução, que não é minha, mas de um autor russo.

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Mensagem por ivomilton em Seg 17 Jan 2011, 17:18

@Elcioschin escreveu:Ivomilton

A sua solução está correta, porém abrange um caso particular em que N é inteiro.
Na verdade, no meu enunciado N pode ser qualquer valor real positivo.
Aí a coisa fica complicada para demonstrar.
Vou aguardar um pouco mais, para ver se outros usuários se manifestam e tentam demonstrar.
Caso não haja respostas, publicarei a solução, que não é minha, mas de um autor russo.

Elcio

Boa tarde, Elcio.

Nem de leve imaginei que N pudesse ser fracionário... Very Happy
Mas, — me desculpe se estiver falando bobagem — no caso de N ser qualquer número real positivo, a partição não seria então N/3? e o produto das partes, (N/3)³? ou seja, N³/27 ??
Ou, matematicamente falando, o difícil seria provar que fazendo assim estaria correto? Isso?





Um abraço.
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Mensagem por Viniciuscoelho em Seg 17 Jan 2011, 18:37

Estou tentando... mas cheguei em um obstáculo, estou tentando solucioná-lo.

Abraços

Viniciuscoelho
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Mensagem por Viniciuscoelho em Seg 17 Jan 2011, 23:36

Essa é um solução incompleta, pois não consegui deduzir o valor de "c", em função de N, e isso é fundamental.

Máximo produto de três fatores 46486351

Destaques favoráveis a essa tentativa:
a) No mínimo 2 partes são iguais, isto é, a = b.

Destaques negativos a essa tentativa:
b) Não foi obtido o valor de "c" em função de N.
c)Como não obtive o valor de "c", não posso obter os valores de "a e b".

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Mensagem por Elcioschin em Ter 18 Jan 2011, 08:01

Ivomilton/Vinicius

Certamente a resposta é que as três partes são iguais a N/3 e o produto máximo é N³/27

Esta solução remete ao problema anterior de dividir N em duas partes: cada parte vale N/2 e o produto máximo vale N²/4.

Quanto à solução do Vinicius, eu gostei do caminho e tenho uma sugestão: fazer o problema de novo, fazendo b = N - a - c, calculando os valores de amáx e cmáx e verificando que são iguais entre sí

Neste caso:

Na 1ª solução do Vinicius ----> b = c
Na minha sugestão ----> a = c

Logo, a = b = c

O que vocês acham?
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Mensagem por Viniciuscoelho em Ter 18 Jan 2011, 08:22

Que idéia genial! Estou de pleno acordo com o mestre.

Viniciuscoelho
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Mensagem por Elcioschin em Ter 18 Jan 2011, 10:44

Vou agora postar a solução do autor russo Iakov Perelman no seu livro "Aprenda Álgebra Brincando" - Editora Hemus (garanto que é o meu livro de cabeceira e recomendo a todos que gostam de matemática!):

Sejam A, B e C as três partes do número N.
Vamos partir do pressuposto de que nenhuma delas seja igual a N/3.
Uma delas (A) é MAIOR do que N/3 (porque todas NÃO podem ser menores do que N/3):

A = N/3 + x ----> x é a diferença entre o valor da parte A e a terça parte de N

Pela mesma motivo anterior haverá também uma outra parte (C), MENOR do que N/3:

C = N/3 - y ----> y é a diferença entre a terça parte de N e o valor C.

Obs. Os valores de x e y são positivos.

A terceira parte (B) vale ----> B = N - A - C ----> B = N/3 + y - x

Podemos escrever:

A + C = (N/3 + x) + (N/3 - y) ----> A + C = N/3 + (N/3 + x - y)

A diferença entre os dois termos do 2º membro vale x - y

A - C = (N/3 + x) - (N/3 - y) -----> A - C = x + y

A diferença entre os dois termos (x - y) é menor do que diferença A - C = x + y

Assim, o produto (N/3)*(N/3 + x - y) é MAIOR do que o produto A*C.

Deste modo, se substituirmos A e C por (N/3) e (N/3 + x - y), sem alterar o valor de B, o produto aumentará.

Suponhamos agora que uma das partes seja igual a N/3. As outras duas serão:

N/3 + z
N/3 - z

Fazendo com que estas duas partes sejam iguais a N/3 (cuja soma, com isto não se altera) vê-se que o seu produto aumenta, resultando em:

(N/3)*(N/3)*(N/3) = N³/27

Se dividíssemos os números em três partes desiguais o produto seria menor do que N³/27, isto é menor do que os três fatores iguais

Logo o máximo produto da repartição de um número em três partes ocorre quando as três partes são iguais.

Por este mesmo processo pode-se demonstrar que o produto dos fatores da repartição de um número N em n partes, ocorre quando as n partes são iguais.

Embora correta, a demonstração é trabalhosa e bem confusa. Prefiro a técnica da solução do Vinicius.








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Mensagem por ivomilton em Ter 18 Jan 2011, 13:45

@Elcioschin escreveu:Ivomilton/Vinicius

Certamente a resposta é que as três partes são iguais a N/3 e o produto máximo é N³/27

Esta solução remete ao problema anterior de dividir N em duas partes: cada parte vale N/2 e o produto máximo vale N²/4.

Quanto à solução do Vinicius, eu gostei do caminho e tenho uma sugestão: fazer o problema de novo, fazendo b = N - a - c, calculando os valores de amáx e cmáx e verificando que são iguais entre sí

Neste caso:

Na 1ª solução do Vinicius ----> b = c
Na minha sugestão ----> a = c

Logo, a = b = c

O que vocês acham?

Boa tarde, Elcio e Vinicius.

Achei muito bem bolada a solução do Vinicius. Embora não tenha conseguido completar o raciocício, mas você Elcio acabou matando a charada: fazer o mesmo cálculo partindo de b = N - a - c, de modo que se a = c e b = c, pode-se concluir com certeza de que a = b = c !

Parabéns para o Vinicius, pela bela reoslução e ao Elcio que a colocou no site e ajudou o Vinicius para finalizá-la a contento !






Um abraço para vocês!
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Mensagem por Viniciuscoelho em Ter 18 Jan 2011, 14:17

Olá, Elcio e Ivomilton

O mestre Elcio teve uma sacada genail, gostei muito. Graças a ele, obtemos uma solução mais simples ao problema. Comecei a ler a solução do autor russo e achei confusa também. Vou imprimir e analisá-la com calma.

Estou gostando muito desses problemas, são bastante interessantes e criativos. Esse deve ser um livro maravilhoso.


Abraços

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Mensagem por Euclides em Ter 18 Jan 2011, 14:38

Meus cumprimentos aos tres e, em particular, ao Vinícius, pela propositura e ótimo desenvolvimento da questão. Ela se torna particularmente interessante do ponto de vista geométrico:

1) na primeira parte em que



isso equivale a perguntar: Qual é o retângulo de perímetro 2N que possui maior área? cuja resposta é: o quadrado. Questão tradicionalmente respondida no estudo das funções do segundo grau:



2) o trabalho de vocês demonstrou que o paralelepípedo reto de perímetro 4N que possui o maior volume é o cubo e que a indução de 2D para 3D era possível.

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Mensagem por Elcioschin em Ter 18 Jan 2011, 15:20

Tudo o que foi discutido demonstra claramente que:

1) A colaboração entre mentes estudiosas e curiosas é capaz de realizar tarefas extraordinárias. Foi assim que ocorreu o desenvolvimento da matemática ao longo dos séculos: cada um se apoiava na idéia de outros para poder prosseguir. Concordo portanto com Newton quando disse "Se eu vislumbrei tão longe é porque me apoiei no ombro de gigantes!"

2) Para isto o fórum é um ótimo meio de realizar esta colaboração: Particularmente, eu, enquanto ensino no fórum, tenho aprendido muito com todos os usuários, muitas das vezes com jovens que tem demonstrado um excepcional talento para a Matemática e para a Física".

3) Aconselho vocês a adquirirem o livro indicado. Tenho um exemplar adquirido há mais de 30 anos, comprado em um navio-bibioteca que aportou em Santos. De tanto lê-lo e relê-lo as páginas começaram a soltar. Recentemente, há uns 2 anos, eu ganhei um exemplar novinho em folha de um ex-aluno particular que comprou um também para ele via internet. Assim, é fácil vocês encontrarem.

4) No livro o autor faz menção a outro livros seu "Astronomia Recreativa" focando assuntos paralelos. Caso vocês descubram este, ou outros, do mesmo autor, me avisem: certamente comprarei.

5) Enquanto vocês não compram o livro vou continuar abordando o assunto de máximos e mínimos dele, conforme prometí: já mostrei os dois primeiros capítulos e logo postarei outros, mostrando a razão de eu ter lançado esta discussão sobre repartição.
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Mensagem por Viniciuscoelho em Ter 18 Jan 2011, 18:43

Vou adotar o comentário em tópicos.

1)
Euclides:

Ela se torna particularmente interessante do ponto de vista geométrico:
2) o trabalho de vocês demonstrou que o paralelepípedo reto de perímetro 4N que possui o maior volume é o cubo e que a indução de 2D para 3D era possível.

Muito bom, Mestre! Gostei muito disso.


2)
Estou de acordo com os pontos do mestre Elcio.
Sobre esse ponto:

4) No livro o autor faz menção a outro livros seu "Astronomia
Recreativa" focando assuntos paralelos. Caso vocês descubram este, ou
outros, do mesmo autor, me avisem: certamente comprarei.

Mestre Elcio, encontrei um site que parece ter todos os livros desse autor, contudo encontra-se em espanhol, se não houver problemas para voce, aí estão os links:

*Neste site, voce pode ler os livros no site:
http://www.librosmaravillosos.com/

*Neste site, voce pode baixar os livros.
(Sugestão:)
Baixando, pode-se imprimir, e mandar encardenar.
http://www.4shared.com/dir/Z9LB1h78/Serie_Yakov_Perelman.html

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Mensagem por Euclides em Ter 18 Jan 2011, 19:09

Vinícius, sua garimpagem na net encontrou um verdadeiro TESOURO!!!!! Somos todos seus devedores.

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