Desigualdades

por nandofab Sáb 07 Fev 2015, 22:11

a < b < c < d e a+d = b+c. Qual é maior: ad ou bc?

Spoiler:

por **Carlos Adir** Sáb 07 Fev 2015, 23:08

Se fosse questão rápida, poderia fazer do método abaixo
a=2, b=3, c=4, d=5:
5 + 2 = 3 + 4
(5)(2) ? (3)(4)
10 < 12
Logo, bc é maior que ad.
Normalmente um caso desses equivale sempre. Mas caso queira uma explicação teórica, abaixo está:
$\\ \begin{cases}a>b>c>d\\ a+d=b+c\end{cases}$

$\\ a=m+d; \ \ \ b=n+d; \ \ \ c=k+d \\ a>b>c>d \Rightarrow m>n>k>0 \\ . \\ De \ a+d=b+c \ temos:\\ m=n+k \\ . \\ \begin{cases}ad =d(m+d)\\ bc = \left(n+d \right )\left(k+d \right ) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ad=dm+d^2 \\ bc=d\left(k+n \right )+d^2+kn \end{cases} \\ \Rightarrow bc-ad = \left(dm+d^2+kn \right )-\left(dm+d^2 \right )=kn \\ . \\ Sabe-se \ que \ kn>0 \\ \Rightarrow bc-ad>0 \Rightarrow bc>ad$

por **ivomilton** Sáb 07 Fev 2015, 23:15

nandofab escreveu:a>b>c>d e a+d = b+c. Qual é maior: ad ou bc?
Spoiler:

Boa noite,

Considerando que as diferenças a-b, b-c e c-d sejam constantes e iguais a "x", fica:
d = d
c = d+x
b = d + 2x
a = d + 3x

ad = d(d+3x) ...... = d² + 3dx
bc = (d+x)(d+2x) = d² + 3dx + 2x²

Ficará evidente que:
bc > ad

Espero que esta prova seja válida...
Também testei fazendo:
a=5; b=4; c=3; d=2.

4*3 > 5*2
12 > 10
bc > ab

Um abraço.

por nandofab Sáb 07 Fev 2015, 23:36

Obrigado pelas soluções! Compreendido.

por nandofab Sáb 07 Fev 2015, 23:38

Só uma observação:embora eu tenha conferido, infelizmente coloquei o sinal das desigualdades errado. Mas qdo alterei para " a < b < c < d" e usei a solução de vcs, deu o mesmo resutado. Obrigado!!